z 分数计算器

使用方法

1. 选择 求解内容：低于某个值、高于某个值、介于两个值之间的比例，或某个百分位对应的值。
2. 输入正态分布的 平均值 μ 和 标准差 σ。
3. 输入 数值 x；求范围时输入 第二个数值 x₂；求百分位对应的值时输入 百分位。
4. 读取 数值的比例 或 该百分位对应的值，再查看 计算过程。

z 分数的计算

z 分数表示一个数值高于或低于平均值多少个标准差：z = (x − μ) ÷ σ。z 分数为0即为平均值，z 分数为1.5则比平均值高一个半标准差。

当数值服从正态分布时，低于某数值的比例为 Φ(z)，其中 Φ 是标准正态分布函数。Φ(1.96) = 0.9750，因此 z 为1.96的数值下方，占全部数值的97.5%。

z = (x − μ) ÷ σ
低于 x 的比例 = Φ(z)
介于 x₁ 与 x₂ 之间的比例 = Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位 p 对应的值 = μ + Φ⁻¹(p) × σ

百分位与百分位对应的值

百分位是分布中有给定比例的数值位于其下方的那个值。例如第90百分位，其下方有90% 的数值。计算器先用 Φ 的反函数求出它的 z 值，再用平均值和标准差把它换算为数值。

对于正态分布，结果是精确的。但真实数据很少精确服从正态分布，尤其是在尾部，因此在依赖某个百分位之前，请先确认数据大致呈钟形。

本计算器不涵盖的内容

• 偏态数据，如收入或等待时间。对这些数据，应使用数据本身的百分位，而不是正态曲线。
• 由样本估计的平均值或标准差的不确定性。这由置信区间计算器处理。
• 检验数据是否服从正态分布，以及正态分布以外的其他分布。

常见问题