置信区间计算器：均值与比例的区间估计

使用方法

选择 估计类型：总体标准差已知的均值（z）、用样本标准差的均值（t），或用 Wald 法、Wilson 得分法的比例。
输入 置信水平，例如95%。
对于均值，输入 样本均值 x̄、样本量 n，以及 总体标准差 σ 或 样本标准差 s 之一。对于比例，输入 成功数 x 和 试验数 n。
阅读 置信区间，再查看 计算过程。表格比较其他置信水平，或两种比例方法。

均值的区间估计

均值的置信区间是样本均值加减临界值乘以标准误。当总体标准差 σ 已知时，标准误为 σ ÷ √n，临界值为标准正态分布中使 (1 + C) ÷ 2位于其下方的 z 值。若只知道样本标准差 s，标准误为 s ÷ √n，临界值为自由度 n − 1的 t 值。t 分布的尾部更厚，因此区间稍宽，对小样本的影响最大。

只要 σ 未知，就应使用 t 区间。观测值在30个左右及以上时，t 值与 z 值已很接近，两种区间几乎一致。

z 区间：x̄ ± z × σ ÷ √n
t 区间：x̄ ± t × s ÷ √n，自由度为 n − 1
z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

比例的区间估计

Wald 区间为 p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n)，其中 p̂ = x ÷ n。它简单，但对小样本，以及接近0% 或100% 的比例效果很差：其上下限可能低于0% 或高于100%，且当全部或全无试验成功时，区间宽度为零。

Wilson 得分区间由 Edwin B. Wilson 于1927年发表，它以加权值为中心，且始终位于0% 与100% 之间。Brown、Cai 与 DasGupta（2001年）比较了两者，并在大多数样本量下推荐 Wilson 区间而非 Wald 区间。

Wald：p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n)
Wilson：[p̂ + z² ÷ (2n) ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n + z² ÷ (4n²))] ÷ (1 + z² ÷ n)

本计算器不涵盖的内容

非随机抽取的样本，以及带权重、群组或设计效应的复杂调查。
当样本占总体的比例很大时所需的有限总体修正。
两个均值或两个比例的比较，这需要另一种区间。若要规划观测数量，请使用样本量计算器。

示例：95% 置信水平下的均值与比例

样本量为25，样本均值为50，标准差为10，则 t = 2.063899，SE = 10 ÷ √25 = 2.0000，误差范围为4.1278，区间为45.8722至54.1278。

100次试验中有56次成功时，Wald 区间为46.27% 至65.73%，Wilson 区间为46.23% 至65.33%。

方法	下限	上限
Wald	46.27%	65.73%
Wilson	46.23%	65.33%

常见问题

95% 置信区间是什么意思？

它是由某种方法构造的区间。以同样方式抽取的每100个样本中，约有95个所构造的区间包含真实值。它并不是说某一个具体区间有95% 的概率包含真实值。

什么时候用 z 区间，什么时候用 t 区间？

只有在总体标准差 σ 已知时才用 z，这种情况很少见。实际中通常使用样本标准差，对于至少2个观测值的样本，应选择 t 区间。

为什么 Wilson 区间比 Wald 区间更好？

Wald 区间用样本比例来估计自身的离散程度，这在小样本以及比例接近0或1时会失效。Wilson 区间始终位于0% 与100% 之间，其实际覆盖率也更接近所声明的水平。

应当选择哪一个置信水平？

95% 最为常用。99% 等更高的水平会给出更宽的区间，90% 等较低的水平则给出更窄的区间。置信水平是您希望有多大把握的决定，而不是数据本身的属性。

给定误差范围，需要多少观测值？

请使用样本量计算器。对于比例，所需样本量取决于误差范围、置信水平和预期比例这三个数值。

计算器会把我的数字发送到别处吗？

不会。计算完全在您的浏览器中完成，您输入的内容不会被保存，也不会发送到我们的服务器或其他任何地方。

资料来源

数据和文字最近核对于2026年11月10日星期二。

结果

计算过程