使用方法
- 输入 试验次数 n，例如10。
- 以百分数输入 成功概率 p，例如50%。
- 输入您想求概率的 成功次数 k。
- 阅读 P(X = k)：恰好 k 次成功、P(X ≤ k) 和 P(X ≥ k)，再查看 分布表 和 计算过程。
二项公式
二项试验由 n 次相互独立的试验组成，每次试验成功的概率都是 p。成功次数 X 服从二项分布。恰好 k 次成功的概率，等于从 n 次试验中选出哪 k 次成功的方式数 C(n, k)，乘以某一种具体结果的概率 pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
成功次数的平均值是 np，方差是 np(1 − p)。标准差是方差的平方根，因此大部分结果落在平均值两个标准差之内。
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ，其中 C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
平均值 = np
方差 = np(1 − p)恰好、至多与至少
P(X ≤ k) 是把0、1、……、k 次成功的概率相加；P(X ≥ k) 是把 k、k + 1、……、n 次成功的概率相加。两者在 k 处重叠，因此 P(X ≥ k) 也等于1减去 P(X ≤ k − 1)。分布表列出每个次数的概率，以及截至该次数的累计概率。
假设条件与不涵盖的内容
- 各次试验必须相互独立，并且成功概率相同。若从一个较小的总体中不放回地抽取，则需要使用超几何分布。
- 有两种以上结果的试验需要用多项分布；本计算器的试验总次数限制为1000次。
- 若要计算试验次数很多、事件很罕见时的泊松分布，请使用泊松概率计算器。
示例：10次试验，p = 50%，k = 3
C(10, 3) = 120，因此 P(X = 3) = 120 × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 ÷ 1024 = 0.117188。至多3次成功的概率为0.171875，至少3次成功的概率为0.945313。平均值为5，方差为2.5。
| 成功次数 j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0.000977 | 0.000977 |
| 1 | 0.009766 | 0.010742 |
| 2 | 0.043945 | 0.054688 |
| 3 | 0.117188 | 0.171875 |
常见问题
P(X = k) 和 P(X ≤ k) 有什么区别？
P(X = k) 是恰好 k 次成功的概率。P(X ≤ k) 则是把次数从0到 k 的每个概率加起来，因此它总是不小于 P(X = k)。
什么时候可以使用二项分布？
当您在固定次数的试验中统计成功次数，且各次试验相互独立、成功概率相同时，就可以使用，例如抛硬币、一批产品中的次品数，或随机猜测的正确题数。
如何计算至少成功一次的概率？
输入 k = 1，然后阅读 P(X ≥ 1)。它等于1减去全部失败的概率，即 1 − (1 − p)ⁿ。
为什么方差是 np(1 − p)？
每次试验的方差是 p(1 − p)，相互独立的试验方差相加，因此总方差是 n 乘以这个值。
成功概率为0% 或100% 时会怎样？
结果是确定的：概率为0% 时次数总是0，概率为100% 时次数总是 n。此时该次数的概率显示为1，其余次数显示为0。
计算器会把我的数字发送到别处吗？
不会。计算完全在您的浏览器中完成，您输入的数字不会被保存，也不会发送到我们的服务器或其他任何地方。
资料来源
数据和文字最近核对于2026年11月10日星期二。