इसका इस्तेमाल कैसे करें
- प्रयासों की संख्या n भरें, जैसे 10।
- सफलता की प्रायिकता p प्रतिशत में भरें, जैसे 50%।
- सफलताओं की संख्या k भरें, यानी वह संख्या जिसकी प्रायिकता आप जानना चाहते हैं।
- P(X = k): ठीक k सफलताएँ, P(X ≤ k) और P(X ≥ k) पढ़ें, फिर बंटन की तालिका और हिसाब कैसे निकला देखें।
द्विपद सूत्र
द्विपद प्रयोग में n स्वतंत्र प्रयास होते हैं, और हर प्रयास में सफलता की प्रायिकता एक ही p होती है। सफलताओं की संख्या X तब द्विपद बंटन का पालन करती है। ठीक k सफलताओं की प्रायिकता उन तरीकों की संख्या से निकलती है जिनसे चुना जा सकता है कि कौन से k प्रयास सफल हों, यानी C(n, k), गुणा हर ऐसे पैटर्न की प्रायिकता pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
सफलताओं की संख्या का माध्य np है और प्रसरण np(1 − p)। मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है, इसलिए ज्यादातर परिणाम माध्य से लगभग दो मानक विचलन के भीतर होते हैं।
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, जहाँ C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
माध्य = np
प्रसरण = np(1 − p)ठीक, अधिकतम और कम से कम
P(X ≤ k) 0, 1, ..., k सफलताओं की प्रायिकताएँ जोड़ता है, और P(X ≥ k) k, k + 1, ..., n की। दोनों पक्ष k पर मिलते हैं, इसलिए P(X ≥ k) 1 में से P(X ≤ k − 1) घटाने के बराबर भी है। तालिका हर गिनती को उसकी प्रायिकता और उस तक की संचयी प्रायिकता के साथ दिखाती है।
मान्यताएँ और जो यह कैलकुलेटर नहीं देखता
- प्रयास स्वतंत्र होने चाहिए और उनकी सफलता की प्रायिकता एक ही हो। बिना प्रतिस्थापन के छोटे समूह से निकालने के लिए हाइपरज्योमेट्रिक बंटन चाहिए।
- तीन से अधिक परिणामों वाले प्रयासों के लिए बहुपद बंटन चाहिए; यहाँ प्रयासों की कुल संख्या 1,000 तक सीमित है।
- दुर्लभ घटनाओं के बहुत प्रयासों वाले पॉइसन बंटन के लिए पॉइसन प्रायिकता कैलकुलेटर देखें।
हल किया हुआ उदाहरण: 10 प्रयास, p = 50% और k = 3
C(10, 3) = 120, इसलिए P(X = 3) = 120 × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 ÷ 1,024 = 0.117188। अधिकतम 3 सफलताओं की प्रायिकता 0.171875 है, और कम से कम 3 सफलताओं की 0.945313। माध्य 5 है और प्रसरण 2.5।
| सफलताएँ j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0.000977 | 0.000977 |
| 1 | 0.009766 | 0.010742 |
| 2 | 0.043945 | 0.054688 |
| 3 | 0.117188 | 0.171875 |
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
P(X = k) और P(X ≤ k) में क्या अंतर है?
P(X = k) ठीक k सफलताओं की प्रायिकता है। P(X ≤ k) 0 से k तक हर गिनती की प्रायिकता जोड़ता है, इसलिए वह हमेशा उतना ही या उससे बड़ा होता है।
द्विपद बंटन का उपयोग कब कर सकते हैं?
जब आप एक निश्चित संख्या के प्रयासों में सफलताएँ गिनते हैं, और प्रयास स्वतंत्र हों और उनकी सफलता की प्रायिकता एक जैसी हो। जैसे सिक्के उछालना, किसी खेप में खराब वस्तुएँ, या अंदाज से दिए गए सही उत्तर।
कम से कम एक सफलता की प्रायिकता कैसे निकालें?
k = 1 डालें और P(X ≥ 1) पढ़ें। यह 1 में से सफलता न होने की प्रायिकता घटाने के बराबर है, यानी 1 − (1 − p)ⁿ।
प्रसरण np(1 − p) क्यों है?
हर प्रयास का प्रसरण p(1 − p) होता है, और स्वतंत्र प्रयासों के प्रसरण जुड़ते हैं, इसलिए कुल n गुना उतना होता है।
प्रायिकता 0% या 100% हो तो क्या होता है?
परिणाम निश्चित है: 0% पर गिनती हमेशा 0 रहती है, और 100% पर हमेशा n। कैलकुलेटर उस गिनती के लिए 1 और बाकी के लिए 0 दिखाता है।
क्या यह कैलकुलेटर मेरे आँकड़े कहीं भेजता है?
नहीं। गणना आपके ब्राउज़र में होती है, और आप जो कुछ भरते हैं वह हमारे सर्वर तक नहीं भेजा जाता।
स्रोत
आँकड़े और टेक्स्ट आखिरी बार मंगलवार, 10 नवंबर 2026 को जाँचे गए।