使い方
- 試行回数nに、たとえば10と入力します。
- 成功確率pを%で入力します。たとえば50%です。
- 成功回数kに、確率を求めたい回数を入力します。
- P(X = k)：ちょうどk回成功する確率、P(X ≤ k)、P(X ≥ k)を読み取り、確率分布の表と計算の過程を確認します。
二項分布の式
二項実験では、n回の独立な試行があり、各試行は同じ確率pで成功します。成功回数Xは二項分布に従います。ちょうどk回成功する確率は、どの試行が成功するかの選び方の数C(n, k)に、ある1通りの並び方の確率pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏを掛けたものです。
成功回数の平均はnp、分散はnp(1 − p)です。標準偏差は分散の平方根で、結果の大部分は平均から約2標準偏差の範囲に入ります。
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ、ただしC(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
平均 = np
分散 = np(1 − p)ちょうど、以下、以上
P(X ≤ k)は、0、1、…、k回成功する確率を足し合わせたものです。P(X ≥ k)は、k、k + 1、…、n回成功する確率を足したものです。2つはkで重なるため、P(X ≥ k)は1 − P(X ≤ k − 1)とも等しくなります。表には、各回数の確率と、その回数までの累積確率が並びます。
前提と扱わない範囲
- 試行は独立で、成功確率が同じである必要があります。少数の集団から元に戻さずに抜き取る場合は、超幾何分布を使います。
- 3つ以上の結果を取る試行には多項分布が必要です。このツールの試行回数は1000回までです。
- まれな事象を多数の試行で扱う場合は、ポアソン確率計算ツールを使ってください。
計算例：試行回数10、成功確率50%、k = 3
C(10, 3) = 120なので、P(X = 3) = 120 × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 ÷ 1024 = 0.117188です。3回以下の成功確率は0.171875、3回以上の成功確率は0.945313です。平均は5、分散は2.5です。
| 成功回数j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0.000977 | 0.000977 |
| 1 | 0.009766 | 0.010742 |
| 2 | 0.043945 | 0.054688 |
| 3 | 0.117188 | 0.171875 |
よくある質問
P(X = k)とP(X ≤ k)の違いは何ですか？
P(X = k)はちょうどk回成功する確率です。P(X ≤ k)は0回からk回までのすべての回数の確率を足したもので、必ずP(X = k)以上の値になります。
二項分布はどんなときに使えますか？
固定した回数の独立な試行で、同じ成功確率のもとで成功の回数を数えるときに使えます。コインを投げる回数、ロットの中の不良品の数、ランダムな推測での正解数などが例です。
少なくとも1回成功する確率はどう求めますか？
k = 1を入力し、P(X ≥ 1)を読み取ります。これは成功が1回もない確率を1から引いたもの、つまり1 − (1 − p)ⁿです。
分散がnp(1 − p)になるのはなぜですか？
1回の試行の分散はp(1 − p)で、独立な試行の分散は足し合わされます。そのため、その値のn倍になります。
成功確率が0%や100%の場合はどうなりますか？
結果が確実になります。0%なら成功回数は常に0、100%なら常にnです。計算ツールは、その回数の確率を1、他の回数の確率を0と表示します。
入力した数値は外部に送られますか？
いいえ。計算はブラウザの中で行われ、入力した内容が当サイトのサーバーに送られることはありません。
出典
数値と文章の最終確認日：2026年11月10日火曜日。