z得点計算ツール

使い方

1. 求めるものを選びます。ある値より下・上・2つの値の間の割合、またはパーセンタイルの値です。
2. 正規分布の平均 μと標準偏差 σを入力します。
3. 値 xを入力します。範囲の場合は2つ目の値 x₂を、パーセンタイルの値の場合はパーセンタイルを入力します。
4. 値の割合またはパーセンタイルの値を確認し、続けて計算の手順を読みます。

z得点の計算方法

z得点は、値が平均から標準偏差いくつ分だけ上または下にあるかを示します。z = (x − μ) ÷ σ です。z得点が0なら平均と同じで、z得点が1.5なら平均より標準偏差1.5個分上にあります。

値が正規分布に従うとき、その値より下にある割合は Φ(z) です。Φ は標準正規分布の分布関数です。Φ(1.96) = 0.9750なので、z = 1.96の値より下に全体の97.5%があります。

z = (x − μ) ÷ σ
x より下の割合 = Φ(z)
x₁ と x₂ の間の割合 = Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル p の値 = μ + Φ⁻¹(p) × σ

パーセンタイルと、パーセンタイルの値

パーセンタイルは、分布のうち指定した割合がその値より下にある値です。例えば90パーセンタイルは、全体の90%がその値より下にある値です。計算機はΦの逆関数からそのz値を求め、平均と標準偏差を使って値に変換します。

正規分布に対する結果は正確です。実際のデータは、特に裾の部分で正規分布とぴったり一致することはまれなので、パーセンタイルに頼る前に、データがおおむね釣り鐘型かどうかを確かめます。

このツールが扱わないもの

• 所得や待ち時間のような歪んだデータ。こうしたデータには、正規曲線ではなく、データ自身のパーセンタイルを使います。
• 標本から推定した平均や標準偏差の不確かさ。それには信頼区間の計算ツールを使います。
• データが正規分布かどうかの検定や、正規分布以外の分布。

よくある質問