使い方
- 推定の種類を選びます。σが既知の平均（z）、標本の標準偏差による平均（t）、または割合のワルド法かウィルソン法です。
- 信頼水準を入力します。たとえば95%です。
- 平均の場合は標本平均x̄、標本の大きさn、そして母標準偏差σか標本の標準偏差sのどちらかを入力します。割合の場合は成功数xと試行数nを入力します。
- 信頼区間を読み取り、次に計算の過程を確認します。表には、ほかの水準、または2つの割合の方法が比べられています。
平均の区間
平均の信頼区間は、標本平均に、臨界値と標準誤差の積を足したり引いたりしたものです。母標準偏差σが分かっている場合、標準誤差はσ ÷ √nで、臨界値は標準正規分布で、下側に (1 + C) ÷ 2の確率がある点zです。標本の標準偏差sしか分からない場合、標準誤差はs ÷ √nで、臨界値は自由度n − 1のtです。t分布は裾が厚いため、区間がわずかに広くなります。その差は、標本が小さいほど大きくなります。
σが分からないときは、t区間を使ってください。およそ30個の観測値以上では、tとzの値が近くなるため、2つの区間はほぼ一致します。
z区間：x̄ ± z × σ ÷ √n
t区間：x̄ ± t × s ÷ √n、自由度n − 1
z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)割合の区間
ワルド区間はp̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n)で、p̂ = x ÷ nです。単純ですが、標本が小さい場合や、割合が0%または100%に近い場合にはうまく働きません。下限が0%より小さくなったり、上限が100%を超えたりすることがあります。すべての試行が成功したか、1つも成功しなかった場合には、幅が0になります。
ウィルソンのスコア区間は、Edwin B. Wilsonが1927年に発表した方法です。推定値を重み付きの値の周りに置き、常に0%と100%の間に収まります。Brown、Cai、DasGupta（2001年）は両者を比較し、ほとんどの標本の大きさでは、ワルド区間よりウィルソン区間を勧めています。
ワルド：p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n)
ウィルソン：[p̂ + z² ÷ (2n) ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n + z² ÷ (4n²))] ÷ (1 + z² ÷ n)このツールが扱わない範囲
- 無作為に抽出されていない標本、そして重み、クラスター、デザイン効果のある複雑な調査。
- 標本が母集団の大きな割合を占める場合の、有限母集団補正。
- 2つの平均や2つの割合の比較。これらには別の区間が必要です。観測数を計画するには、標本サイズ計算ツールを使ってください。
計算例：95%での平均と割合
平均50、標準偏差10の標本が25個あるとします。t = 2.063899、SE = 10 ÷ √25 = 2.0000なので、誤差の幅は4.1278、区間は45.8722から54.1278までです。
100回の試行で56回成功した場合、ワルド区間は46.27%から65.73%まで、ウィルソン区間は46.23%から65.33%までです。
| 方法 | 下限 | 上限 |
|---|---|---|
| ワルド法 | 46.27% | 65.73% |
| ウィルソン法 | 46.23% | 65.33% |
よくある質問
95%の信頼区間とはどういう意味ですか？
同じ方法で標本を抽出するとき、100回のうちおよそ95回は、真の値を含む区間を作る方法です。ある1つの区間に真の値が95%の確率で含まれるという意味ではありません。
z区間とt区間はどう使い分けますか？
母標準偏差σが分かっている場合にだけzを使います。これはまれです。実際には標本の標準偏差を使い、観測値が2個以上の標本なら、t区間が適切です。
ウィルソン区間がワルド区間より優れているのはなぜですか？
ワルド区間は、標本の割合から自分自身の広がりを推定するため、標本が小さい場合や、割合が0か1に近い場合にうまく働きません。ウィルソン区間は0%と100%の間に収まり、実際の被覆率が示された水準にずっと近くなります。
信頼水準はどれを選べばよいですか？
95%が最もよく使われます。99%のように高くすると区間は広くなり、90%のように低くすると狭くなります。信頼水準は、どの程度確かさを求めるかという判断であり、データの性質ではありません。
特定の誤差の幅には、いくつの観測値が必要ですか？
標本サイズ計算ツールを使ってください。割合の場合、必要な標本の大きさは、誤差の幅、信頼水準、想定する割合によって決まります。
入力した数値は外部に送られますか？
いいえ。計算はブラウザの中で行われ、入力した内容が当サイトに送られることはありません。
出典
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods（英語）, 1.3.5.2: Confidence limits for the mean
- Wikipedia（英語）: Binomial proportion confidence interval (Wald and Wilson intervals)
- Brown, Cai and DasGupta（英語）(2001), Interval Estimation for a Binomial Proportion, Statistical Science 16(2)
- Wilson（英語）(1927), Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference, Journal of the American Statistical Association 22(158)
数値と文章の最終確認日：2026年11月10日火曜日。