Калькулятор доверительного интервала для среднего и доли

Как пользоваться

Выберите Оценка: среднее при известном σ (z) или при выборочном s (t), либо долю по методу Вальда или Уилсона.
Введите Уровень доверия, например 95 %.
Для среднего введите Выборочное среднее x̄, Объём выборки n и либо Стандартное отклонение генеральной совокупности σ, либо Выборочное стандартное отклонение s. Для доли введите Число успехов x и Число испытаний n.
Прочитайте Доверительный интервал, затем Как получен результат. В таблице сравниваются другие уровни или оба метода для доли.

Интервалы для среднего

Доверительный интервал для среднего — это выборочное среднее плюс-минус критическое значение, умноженное на стандартную ошибку. Когда σ известно, стандартная ошибка равна σ ÷ √n, а критическое значение — z, то есть точка стандартного нормального распределения, под которой лежит (1 + C) ÷ 2. Когда известно только выборочное s, стандартная ошибка равна s ÷ √n, а критическое значение — t с n − 1 степенями свободы. Распределение t имеет более тяжёлые хвосты, поэтому интервал немного шире; это важнее всего для малых выборок.

Используйте интервал t всякий раз, когда σ неизвестно. Начиная примерно с 30 наблюдений значения t и z близки, и оба интервала почти совпадают.

интервал z: x̄ ± z × σ ÷ √n
интервал t: x̄ ± t × s ÷ √n, с n − 1 степенями свободы
z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

Интервалы для доли

Интервал Вальда — это p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n), где p̂ = x ÷ n. Он прост, но плохо работает для малых выборок и для долей, близких к 0 % или 100 %: его границы могут выйти за 0 % или 100 %, а когда все испытания или ни одно из них не дают успеха, его ширина равна нулю.

Интервал по оценке Уилсона, опубликованной Эдвином Б. Уилсоном в 1927 году, центрирует оценку на взвешенном значении и всегда остаётся между 0 % и 100 %. Браун, Кай и ДасГупта (2001) сравнили оба интервала и рекомендуют интервал Уилсона вместо интервала Вальда для большинства объёмов выборки.

Вальд: p̂ ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n)
Уилсон: [p̂ + z² ÷ (2n) ± z √(p̂ (1 − p̂) ÷ n + z² ÷ (4n²))] ÷ (1 + z² ÷ n)

Что калькулятор не охватывает

Выборки, которые отобраны не случайно, и сложные обследования с весами, кластерами или поправкой на план (design effect).
Поправка на конечную совокупность для выборки, которая составляет большую долю совокупности.
Сравнение двух средних или двух долей: для этого нужен другой интервал. Чтобы спланировать число наблюдений, используйте калькулятор размера выборки.

Примеры: среднее и доля при 95 %

Выборка из 25 наблюдений со средним 50 и стандартным отклонением 10 даёт t = 2,063899 и SE = 10 ÷ √25 = 2,0000, поэтому предельная ошибка равна 4,1278, а интервал — от 45,8722 до 54,1278.

При 56 успехах из 100 испытаний интервал Вальда равен от 46,27 % до 65,73 %, а интервал Уилсона — от 46,23 % до 65,33 %.

Метод	Нижняя граница	Верхняя граница
Вальд	46,27 %	65,73 %
Уилсон	46,23 %	65,33 %

Частые вопросы

Что означает доверительный интервал на уровне 95 %?

Это диапазон, построенный методом, который содержит истинное значение примерно в 95 случаях из каждых 100 выборок, взятых тем же способом. Это не значит, что один конкретный интервал содержит истинное значение с вероятностью 95 %.

Когда использовать интервал z, а когда интервал t?

Интервал z — только тогда, когда стандартное отклонение генеральной совокупности σ известно, а это бывает редко. На практике берут выборочное стандартное отклонение, и интервал t подходит для любой выборки не меньше чем из 2 наблюдений.

Почему интервал Уилсона лучше интервала Вальда?

Интервал Вальда оценивает собственный разброс по выборочной доле, и это подводит на малых выборках и для долей, близких к 0 или 1. Интервал Уилсона остаётся в пределах от 0 % до 100 %, а его фактическое покрытие гораздо ближе к заявленному уровню.

Какой уровень доверия выбрать?

Чаще всего берут 95 %. Более высокий уровень, например 99 %, даёт более широкий интервал, а более низкий, например 90 %, — более узкий. Уровень — это решение о том, насколько вы хотите быть уверены, а не свойство данных.

Сколько наблюдений нужно для заданной предельной ошибки?

Используйте калькулятор размера выборки. Для доли нужный объём зависит от предельной ошибки, уровня доверия и ожидаемой доли.

Отправляются ли введённые числа куда-нибудь?

Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.

Источники

Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..

Результат

Как получен результат