Как пользоваться
- Выберите Размерность: 2D или 3D.
- Выберите Операция. Затем введите координаты вектора a в поле Вектор a (координаты через пробел), а вектора b или c там, где страница об этом просит.
- Прочитайте Результат. Для скалярного и векторного произведения Проверка показывает, перпендикулярны ли векторы или параллельны.
- Пройдите по разделу Как это вычисляется, чтобы увидеть каждую координату.
Скалярное, векторное и смешанное произведения
Скалярное произведение двух векторов — это сумма произведений их координат: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Оно равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Векторное произведение двух векторов в 3D — вектор, перпендикулярный обоим, с координатами (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁). Смешанное произведение a · (b × c) равно определителю матрицы со строками a, b и c.
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁)- Длина a равна |a| = √(a · a), а единичный вектор a ÷ |a| имеет длину 1.
- Угол между a и b находится из cos θ = (a · b) ÷ (|a| |b|).
- Проекция a на b равна ((a · b) ÷ (b · b)) b, а её скалярная составляющая равна (a · b) ÷ |b|.
Точность и чего калькулятор не охватывает
Координаты читаются точно, поэтому скалярное, векторное и смешанное произведения и проекция точны. Длина сохраняется как √ от целого или дробного числа, где это возможно, а угол даётся десятичной дробью, потому что арккосинус большинства значений не выражается простой долей π.
- Векторы только в 2D и 3D; векторное произведение в 2D — это одно число a₁b₂ − a₂b₁.
- Комплексные координаты, векторы в четырёх и более измерениях и матричные операции не рассматриваются; для матриц используйте калькулятор матриц.
- Нулевой вектор не имеет направления, поэтому единичный вектор, угол и проекция на него не вычисляются.
Пример: векторное произведение (1; 2; 3) и (4; −5; 6)
Первая координата a × b равна 2 × 6 − 3 × (−5) = 12 + 15 = 27, вторая — 3 × 4 − 1 × 6 = 6, третья — 1 × (−5) − 2 × 4 = −13. Итак, a × b = (27; 6; −13). Для проверки: a · (27; 6; −13) = 27 + 12 − 39 = 0, значит, векторное произведение перпендикулярно a.
Скалярное произведение a · b равно 4 − 10 + 18 = 12, а угол между векторами следует из cos θ = 12 ÷ (√14 × √77), около 0,3655, что равно 68,56°.
| Результат | |
|---|---|
| Векторное произведение a × b | (27; 6; −13) |
| Скалярное произведение a · b | 12 |
| Длина a | √14 ≈ 3,7417 |
| Угол между a и b | 68,56° (1,1966 рад) |
Частые вопросы
Что означает нулевое скалярное произведение?
Оно означает, что векторы перпендикулярны и образуют прямой угол. Страница пишет «Перпендикулярность» в поле проверки каждый раз, когда скалярное произведение точно равно 0.
Почему векторное произведение в 3D не число?
Векторное произведение двух векторов в 3D — это другой вектор, перпендикулярный обоим. В 2D та же идея даёт одно число, a₁b₂ − a₂b₁, и страница показывает именно его.
Как ввести вектор?
Введите его координаты по порядку через пробел: 1 2 3 для вектора с x = 1, y = 2 и z = 3. Отрицательные координаты пишутся со знаком минус, а десятичные дроби — с запятой.
Почему длина записана как √14, а не 3,74?
Квадратный корень сохраняется точно, поэтому результат — √14, а после него показано десятичное приближение. Округляется только десятичная запись, но не сам расчёт.
Отправляются ли введённые векторы на сервер?
Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не отправляется нам.
Источники
- Wikipedia (на английском): Dot product
- Wikipedia (на английском): Cross product
- Wikipedia (на английском): Triple product
- Wikipedia (на английском): Vector projection
Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..