Cómo se usa
- Elija la Dimensión: 2D o 3D.
- Elija la Operación. Después escriba las componentes del vector a en Vector a (componentes separadas por espacios), y las del vector b o c donde la página lo pida.
- Lea el Resultado. Para los productos escalar y vectorial, Comprobación indica si los vectores son perpendiculares o paralelos.
- Siga Cómo se calcula para ver cada componente.
Productos escalar, vectorial y mixto
El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes, a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Es cero cuando los vectores son perpendiculares. El producto vectorial de dos vectores 3D es un vector perpendicular a ambos, con componentes (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁). El producto mixto a · (b × c) es el determinante de la matriz con filas a, b y c.
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)- El módulo de a es |a| = √(a · a), y el vector unitario a ÷ |a| tiene módulo 1.
- El ángulo entre a y b sale de cos θ = (a · b) ÷ (|a| |b|).
- La proyección de a sobre b es ((a · b) ÷ (b · b)) b, y su componente escalar es (a · b) ÷ |b|.
Exactitud y lo que no cubre
Las componentes se leen con exactitud, así que los productos escalar, vectorial y mixto y la proyección son exactos. Un módulo se conserva como √ de un número entero o fraccionario cuando es posible, y el ángulo es un decimal porque el arcocoseno de la mayoría de los valores no es una fracción sencilla de π.
- Vectores solo en 2D y 3D; el producto vectorial en 2D es el único número a₁b₂ − a₂b₁.
- No se cubren componentes complejas, vectores de cuatro o más dimensiones, ni operaciones con matrices: para matrices use la calculadora de matrices.
- Un vector nulo no tiene dirección, así que el vector unitario, el ángulo y la proyección sobre él se rechazan.
Ejemplo resuelto: el producto vectorial de (1, 2, 3) y (4, −5, 6)
La primera componente de a × b es 2 × 6 − 3 × (−5) = 12 + 15 = 27, la segunda es 3 × 4 − 1 × 6 = 6 y la tercera es 1 × (−5) − 2 × 4 = −13. Así que a × b = (27, 6, −13). Como comprobación, a · (27, 6, −13) = 27 + 12 − 39 = 0, así que el producto vectorial es perpendicular a a.
El producto escalar a · b es 4 − 10 + 18 = 12, y el ángulo entre los vectores sale de cos θ = 12 ÷ (√14 × √77), unos 0,3655, que es 68,56°.
| Resultado | |
|---|---|
| Producto vectorial a × b | (27, 6, −13) |
| Producto escalar a · b | 12 |
| Módulo de a | √14 ≈ 3,7417 |
| Ángulo entre a y b | 68,56° (1,1966 rad) |
Preguntas frecuentes
¿Qué me dice un producto escalar igual a cero?
Significa que los dos vectores son perpendiculares y forman un ángulo recto. La página lo escribe como Perpendiculares en el recuadro de comprobación, cada vez que el producto escalar sale exactamente 0.
¿Por qué el producto vectorial no es un número en 3D?
El producto vectorial de dos vectores 3D es otro vector, perpendicular a ambos. En 2D la misma idea da un único número, a₁b₂ − a₂b₁, y la página muestra ese número.
¿Cómo escribo un vector?
Escriba sus componentes en orden, separadas por espacios: 1 2 3 para el vector con x = 1, y = 2 y z = 3. Las componentes negativas llevan signo menos, y los decimales usan la coma decimal.
¿Por qué aparece un módulo como √14 y no 3,74?
La raíz cuadrada se mantiene exacta, así que el resultado es √14 y después se muestra su aproximación decimal. Solo se redondea el decimal, nunca el cálculo.
¿Se envían a un servidor los vectores que escribo?
No. El cálculo se hace en su navegador y no se envía nada de lo que escribe.
Fuentes
- Wikipedia (en inglés): Producto escalar
- Wikipedia (en inglés): Producto vectorial
- Wikipedia (en inglés): Producto mixto
- Wikipedia (en inglés): Proyección vectorial
Cifras y texto revisados por última vez el martes, 10 de noviembre de 2026.