حاسبة المتجهات: الجداء النقطي والاتجاهي والطول والزاوية

حاسبة المتجهات

أدخل المتجه a، والمتجه b أو c حيث تحتاجهما العملية، مع مركبات كل منهما. تحصل على النتيجة الدقيقة، والأطوال مكتوبة بالجذر حيث لا تكون عدداً صحيحاً، وكل خطوة من الحساب.

مجانية تعمل داخل متصفحك آخر مراجعة: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة

طريقة الاستخدام

اختر البعد: ثنائي أو ثلاثي البعد.
اختر العملية. ثم اكتب مركبات المتجه a في المتجه a (المركبات مفصولة بمسافات)، ومركبات المتجه b أو c حيث تطلبها الصفحة.
اقرأ النتيجة. وللجداء النقطي والاتجاهي، يبيّن التحقق هل المتجهان متعامدان أو متوازيان.
افتح طريقة الحساب لترى كل مركبة.

الجداء النقطي والاتجاهي والثلاثي

الجداء النقطي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مركباتهما، a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. ويساوي صفراً عندما يكون المتجهان متعامدين. والجداء الاتجاهي لمتجهين ثلاثيي البعد متجه متعامد على كليهما، مركباته (a₂b₃ − a₃b₂، a₃b₁ − a₁b₃، a₁b₂ − a₂b₁). والجداء الثلاثي a · (b × c) هو محدد المصفوفة التي صفوفها a وb وc.

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂، a₃b₁ − a₁b₃، a₁b₂ − a₂b₁)

طول a هو |a| = √(a · a)، ومتجه الوحدة a ÷ |a| طوله 1.
الزاوية بين a وb تأتي من cos θ = (a · b) ÷ (|a| |b|).
إسقاط a على b هو ((a · b) ÷ (b · b)) b، ومركبته القياسية هي (a · b) ÷ |b|.

الدقة وما لا تشمله الأداة

تُقرأ المركبات بدقة، فالجداءات النقطية والاتجاهية والثلاثية والإسقاط تأتي دقيقة. ويُحفظ الطول في صورة √ لعدد صحيح أو كسري حيثما أمكن، وتكون الزاوية عشرية لأن arccos لمعظم القيم ليس كسراً بسيطاً من π.

المتجهات في البعدين الثنائي والثلاثي فقط؛ والجداء الاتجاهي في البعد الثنائي هو العدد الوحيد a₁b₂ − a₂b₁.
الأعداد المركّبة، والمتجهات في أربعة أبعاد أو أكثر، والعمليات على المصفوفات غير مشمولة؛ استخدم حاسبة المصفوفات للمصفوفات.
المتجه الصفري ليس له اتجاه، لذلك يُرفض حساب متجه الوحدة والزاوية والإسقاط عليه.

مثال محلول: الجداء الاتجاهي لـ (1، 2، 3) و(4، −5، 6)

المركبة الأولى للجداء a × b هي 2 × 6 − 3 × (−5) = 12 + 15 = 27، والثانية 3 × 4 − 1 × 6 = 6، والثالثة 1 × (−5) − 2 × 4 = −13. إذن a × b = (27، 6، −13). للتحقق، a · (27، 6، −13) = 27 + 12 − 39 = 0، فالجداء الاتجاهي متعامد على a.

الجداء النقطي a · b هو 4 − 10 + 18 = 12، والزاوية بين المتجهين تأتي من cos θ = 12 ÷ (√14 × √77)، أي نحو 0.3655، وهي 68.56°.

	النتيجة
الجداء الاتجاهي a × b	(27، 6، −13)
الجداء النقطي a · b	12
طول a	√14 ≈ 3.7417
الزاوية بين a وb	68.56° (1.1966 راديان)

الأسئلة الشائعة

ماذا يعني الجداء النقطي الذي يساوي صفراً؟

يعني أن المتجهين متعامدان، فيلتقيان بزاوية قائمة. تكتب الصفحة ذلك في خانة التحقق بعبارة متعامدان، كلما خرج الجداء النقطي 0 تماماً.

لماذا لا يكون الجداء الاتجاهي عدداً في البعد الثلاثي؟

الجداء الاتجاهي لمتجهين ثلاثيي البعد متجه آخر متعامد على كليهما. وفي البعد الثنائي تعطي الفكرة نفسها عدداً واحداً هو a₁b₂ − a₂b₁، وتعرض الصفحة هذا العدد.

كيف أكتب المتجه؟

اكتب مركباته بالترتيب، مفصولة بمسافات: 1 2 3 للمتجه الذي فيه x = 1 وy = 2 وz = 3. والمركبة السالبة تحتاج إلى علامة ناقص، والكسور العشرية تستخدم النقطة للفاصلة العشرية.

لماذا يظهر طول مثل √14 بدلاً من 3.74؟

يُحفظ الجذر التربيعي دقيقاً، فتكون النتيجة √14 ويظهر التقريب العشري بعدها. يُقرَّب العدد العشري وحده، ولا يُقرَّب الحساب نفسه أبداً.

هل تُرسل المتجهات التي أكتبها إلى خادم؟

لا. يجري الحساب في متصفحك، ولا يُرسل ما تكتبه إلينا.

المصادر

آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.

النتيجة

طريقة الحساب