向量计算器：点积、叉积、模与夹角

使用方法

选择维数：二维或三维。
选择运算。然后在 向量 a（分量用空格分隔） 中输入向量 a 的分量，并在页面要求时输入向量 b 或 c 的分量。
读取结果。对于点积和叉积，核对会说明两个向量是否垂直或平行。
逐步查看 计算过程，了解每个分量的计算。

点积、叉积与混合积

两个向量的点积是其对应分量乘积之和：a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。两向量垂直时，点积为零。两个三维向量的叉积是同时垂直于它们的一个向量，其分量为 (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)。混合积 a · (b × c) 是以 a、b、c 为行的矩阵的行列式。

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

a 的模为 |a| = √(a · a)，单位向量 a ÷ |a| 的模为1。
a 与 b 的夹角由 cos θ = (a · b) ÷ (|a| |b|) 求出。
a 在 b 上的投影为 ((a · b) ÷ (b · b)) b，其标量分量为 (a · b) ÷ |b|。

精确性与本计算器不涵盖的内容

分量按精确数读取，因此点积、叉积、混合积和投影都是精确的。在可能的情况下，模保持为整数或分数的平方根；夹角则以小数给出，因为多数值的反余弦都不是 π 的简单分数。

仅限二维和三维向量；二维中的叉积是单个数 a₁b₂ − a₂b₁。
复数分量、四维或更高维的向量，以及矩阵运算都不在此列；矩阵请使用矩阵计算器。
零向量没有方向，因此对它求单位向量、夹角或投影都会被拒绝。

示例：(1, 2, 3) 与 (4, −5, 6) 的叉积

a × b 的第一个分量为 2 × 6 − 3 × (−5) = 12 + 15 = 27，第二个分量为 3 × 4 − 1 × 6 = 6，第三个分量为 1 × (−5) − 2 × 4 = −13。所以 a × b = (27, 6, −13)。作为核对，a · (27, 6, −13) = 27 + 12 − 39 = 0，因此叉积与 a 垂直。

点积 a · b 为 4 − 10 + 18 = 12；两向量的夹角由 cos θ = 12 ÷ (√14 × √77) 求出，约为0.3655，即68.56°。

	结果
a × b 的叉积	(27, 6, −13)
a · b 的点积	12
a 的模	√14 ≈ 3.7417
a 与 b 的夹角	68.56°（1.1966弧度）

常见问题

点积为零说明什么？

说明两个向量垂直，它们成直角相交。只要点积恰好为0，页面就会在“核对”框中显示“垂直”。

为什么三维中的叉积不是一个数？

两个三维向量的叉积是另一个向量，同时垂直于它们两者。在二维中，同样的概念给出的是一个数 a₁b₂ − a₂b₁，页面显示的就是这个数。

我该如何输入向量？

按顺序输入分量，用空格分隔：例如1 2 3表示 x = 1、y = 2、z = 3的向量。负的分量前要加减号，小数点请写作句点“.”。

为什么结果中出现 √14，而不是3.74？

平方根保持精确，因此结果写作 √14，并在其后显示小数近似值。只有小数部分被取近似，计算过程本身从不取近似。

我输入的向量会被发送到服务器吗？

不会。计算在您的浏览器中进行，您输入的向量和结果都不会发送给我们，页面也不会在服务器上保存它们。

资料来源

数据和文字最近核对于2026年11月10日星期二。

结果

计算过程