定积分计算器

使用方法

1. 在 函数 f(x) 中输入函数，用 x 书写，例如 e^x。
2. 输入积分范围的 下限 a 和 上限 b。
3. 输入 区间数，应为偶数。可从4开始，逐步加倍，观察数值如何趋于稳定。
4. 阅读 从 a 到 b 的积分 和 估计误差，然后打开 计算过程 查看每一步。

辛普森法则的原理

积分是函数图像与水平轴之间、从 a 到 b 的有符号面积。辛普森法则在每两个相邻区间上，用一条经过三点的抛物线代替曲线，再把这些抛物线下方的面积加起来。

每个区间的宽度为 h = (b − a) ÷ n，其中 n 为区间数，且必须为偶数。公式的数学表述来源见本页末尾的参考资料。

∫ 从 a 到 b 的 f(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]

h   每个区间的宽度 = (b − a) ÷ n
fk  点 a + k·h 处的函数值

误差如何估计

辛普森法则的误差按 h⁴ 的比例下降：宽度减半，误差约减少为十六分之一。本计算器用您设定的区间数计算 S(n)，再用两倍区间数计算 S(2n)，并以两者之差估计 S(n) 的误差。

估计的可靠程度取决于这一假设。若函数在积分范围内光滑，它接近真实误差；若存在跳跃、尖峰，或函数在某点为无穷大，它可能偏差很大。

S(n) 的误差 ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|

本计算器不涵盖的内容

• 广义积分：上限或下限为无穷大，或积分范围内某点的函数值为无穷大的情况。
• 两个或更多变量的函数的积分。
• 精确的原函数。本计算器给出的数值是数值近似。
• 含跳跃或非常尖锐峰值的函数，此时误差估计不可靠。

常见问题