So verwenden Sie es
- Tragen Sie die Funktion unter Funktion f(x) ein, in x geschrieben, zum Beispiel e^x.
- Geben Sie die Untere Grenze a und die Obere Grenze b des Bereichs ein.
- Tragen Sie die Anzahl der Teilintervalle ein, eine gerade Zahl. Beginnen Sie mit 4 und verdoppeln Sie die Zahl, um zu sehen, wie sich der Wert einpendelt.
- Lesen Sie Integral von a bis b und Geschätzter Fehler ab und öffnen Sie Rechenweg, um jeden Schritt zu sehen.
So arbeitet die Simpson-Regel
Das Integral ist die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen dem Graphen von f und der waagerechten Achse, von a bis b. Die Simpson-Regel ersetzt die Kurve in jedem Paar von Teilintervallen durch eine Parabel durch drei Punkte und summiert die Flächen unter diesen Parabeln.
Die Breite jedes Teilintervalls ist h = (b − a) ÷ n, wobei n die Anzahl der Teilintervalle ist und gerade sein muss. Das Lehrbuch zur Formel steht in den Quellen.
∫ von a bis b von f(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]
h Breite jedes Teilintervalls = (b − a) ÷ n
fk der Funktionswert an der Stelle a + k·hSo wird der Fehler geschätzt
Der Fehler der Simpson-Regel nimmt proportional zu h^4 ab: Halbiert man die Breite, sinkt der Fehler um etwa das Sechzehnfache. Der Rechner berechnet den Wert S(n) mit Ihren Teilintervallen und S(2n) mit doppelt so vielen und verwendet die Differenz beider Werte, um den Fehler von S(n) zu schätzen.
Die Schätzung ist nur so gut wie diese Annahme. Ist die Funktion im Bereich glatt, liegt sie nah am wahren Fehler; in der Nähe eines Sprungs, einer scharfen Spitze oder einer Stelle, an der die Funktion unendlich ist, kann sie stark abweichen.
Fehler von S(n) ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|Was dieser Rechner nicht abdeckt
- Uneigentliche Integrale: eine unendliche Grenze oder eine Stelle im Bereich, an der die Funktion unendlich ist.
- Integrale von Funktionen mit zwei oder mehr Variablen.
- Die genaue Stammfunktion. Der Wert ist eine numerische Näherung.
- Funktionen mit einem Sprung oder einer sehr scharfen Spitze, bei denen die Fehlerschätzung nicht verlässlich ist.
Rechenbeispiel: e^x von 0 bis 1 mit 4 Teilintervallen
Die Breite ist h = (1 − 0) ÷ 4 = 0,25. Die Simpson-Regel mit 4 Teilintervallen ergibt 1,718319, mit 8 Teilintervallen 1,718284. Die Differenz ist 0,00003469, der geschätzte Fehler daher 16/15 davon: 0,00003700.
Der genaue Wert ist e − 1 = 1,718282, denn die Ableitung von e^x ist e^x (OpenStax, Table of Derivatives, englisch). Der Fehler des Werts mit 4 Teilintervallen beträgt daher etwa 0,00003701, wie die Schätzung voraussagt.
| Ergebnis | Wert |
|---|---|
| Integral mit 4 Teilintervallen | 1,718319 |
| Geschätzter Fehler | 0,00003700 |
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein bestimmtes Integral?
Es ist die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der waagerechten Achse, von der unteren bis zur oberen Grenze. Liegt der Graph unter der Achse, zählt dieser Teil der Fläche negativ.
Warum muss die Anzahl der Teilintervalle gerade sein?
Die Simpson-Regel nimmt die Teilintervalle paarweise und legt durch jedes Paar eine Parabel. Eine ungerade Anzahl ließe ein Teilintervall ohne Partner, deshalb verlangt der Rechner eine gerade Zahl.
Warum ändert sich der Wert, wenn ich Teilintervalle hinzufüge?
Die Simpson-Regel ist eine Näherung. Mehr Teilintervalle machen jeden Streifen schmaler, und der Fehler sinkt rasch, daher pendelt sich der Wert ein. Der geschätzte Fehler zeigt ungefähr, wie viel noch fehlt.
Was bedeutet der geschätzte Fehler?
Er schätzt, wie weit der angezeigte Wert vom genauen Integral entfernt sein kann; dazu vergleicht er mit doppelt so vielen Teilintervallen. Er ist keine garantierte Grenze und kann dort falsch sein, wo die Funktion springt oder eine scharfe Spitze hat.
Warum erhalte ich keinen Wert?
Die Funktion ist an einer Stelle des Bereichs nicht definiert, zum Beispiel ln(x) bei null, oder dort unendlich. Wählen Sie Grenzen, an denen die Funktion definiert ist.
Kann ich unendliche Grenzen verwenden?
Nein. Die Grenzen müssen Zahlen sein. Ein Integral bis unendlich braucht ein anderes Verfahren, das dieser Rechner nicht bietet.
Sendet der Rechner meine Funktion irgendwohin?
Nein. Die Funktion wird in Ihrem Browser gelesen und integriert. Nichts, was Sie eingeben, wird gespeichert oder an uns gesendet.
Quellen
- Numerische Methoden, Lehrtext: Abschnitt 14.1, Simpson's rule, zusammengesetzte Formel und Ordnung 4 (englisch)
- OpenStax, Calculus Volume 2: Table of Derivatives, Ableitung von e^x ist e^x (englisch)
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Donnerstag, 12. November 2026.