Калькулятор определённого интеграла

Как пользоваться

1. Введите функцию в Функция f(x), записанную через x, например e^x.
2. Введите Нижний предел a и Верхний предел b промежутка.
3. Введите Число отрезков, чётное число. Начните с 4 и удвойте его, чтобы увидеть, как устанавливается значение.
4. Прочитайте Интеграл от a до b и Оценка погрешности, затем откройте Ход расчёта, чтобы увидеть каждый шаг.

Как работает формула Симпсона

Интеграл — это ориентированная площадь между графиком f и горизонтальной осью от a до b. Формула Симпсона заменяет кривую в каждой паре отрезков параболой, проходящей через три точки, и складывает площади под этими параболами.

Ширина каждого отрезка равна h = (b − a) ÷ n, где n — число отрезков, и оно должно быть чётным. Источники, на которых основана формула, перечислены ниже.

∫ от a до b f(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]

h   ширина отрезка = (b − a) ÷ n
fk  значение функции в точке a + k·h

Как оценивается погрешность

Погрешность формулы Симпсона убывает пропорционально h⁴: уменьшение ширины вдвое сокращает погрешность примерно в 16 раз. Калькулятор вычисляет значение S(n) при вашем числе отрезков и S(2n) при вдвое большем, а разность между ними используется, чтобы оценить погрешность S(n).

Оценка надёжна лишь настолько, насколько верно это предположение. Там, где функция гладкая на промежутке, она близка к истинной погрешности; рядом со скачком, острым пиком или точкой, где функция бесконечна, она может сильно отличаться.

погрешность S(n) ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|

Что калькулятор не охватывает

• Несобственные интегралы: предел, равный бесконечности, или точку внутри промежутка, где функция бесконечна.
• Интегралы от функций двух и более переменных.
• Точную первообразную. Значение — численное приближение.
• Функции со скачком или очень острым пиком, для которых оценка погрешности ненадёжна.

Частые вопросы