定積分計算ツール：シンプソン則と誤差の見積もり

使い方

積分は、aからbまでの、fのグラフと横軸の間の符号付きの面積です。シンプソンの公式は、2つずつの区間ごとに、3点を通る放物線で曲線を置き換え、その放物線の下の面積を足し合わせます。

各区間の幅はh = (b − a) ÷ nです。ここでnは区間の数で、偶数でなければなりません。公式の出典は、下の出典欄に挙げています。

aからbまでのf(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]

h各区間の幅 = (b − a) ÷ n
fk点a + k·hでの関数の値

シンプソンの公式の誤差はh⁴に比例して小さくなります。幅を半分にすると、誤差はおよそ16分の1になります。このツールは、入力した区間での値S(n)と、その2倍の区間での値S(2n)を計算し、その差からS(n)の誤差を見積もります。

この見積もりは、その前提が成り立つ場合にのみ、真の誤差に近くなります。範囲で関数がなめらかならば、見積もりは妥当です。急な跳びや鋭いピーク、関数が無限大になる点の近くでは、大きくずれることがあります。

S(n)の誤差 ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|

幅はh = (1 − 0) ÷ 4 = 0.25です。4区間のシンプソンの公式では1.718319、8区間では1.718284になります。その差は0.00003469なので、誤差の見積もりは、その16/15倍の0.00003700です。

正確な値はe − 1 = 1.718282です。e^xの導関数はe^xだからです（OpenStax、導関数の表）。そのため、4区間の値の誤差は約0.00003701で、見積もりどおりです。

結果	値
4区間での積分	1.718319
誤差の見積もり	0.00003700

定積分とは何ですか？

下端から上端までの、関数のグラフと横軸の間の符号付きの面積です。グラフが横軸より下にある部分は、その面積を負として数えます。

区間の数はなぜ偶数である必要がありますか？

シンプソンの公式は区間を2つずつ組にし、それぞれに放物線を当てはめます。奇数だと1区間が組になれないため、このツールは偶数を求めます。

区間を増やすと値が変わるのはなぜですか？

シンプソンの公式は近似です。区間を増やすと各短冊が細くなり、誤差は速く小さくなるため、値は落ち着いていきます。誤差の見積もりは、なお残る誤差のおおよその大きさを示します。

誤差の見積もりは何を意味しますか？

表示された値が、正確な積分からどれだけ離れうるかの見積もりです。区間を2倍にした結果と比べて求めます。保証された上限ではなく、関数が跳んだり鋭いピークを持つ場合には誤りうるものです。

値が表示されないのはなぜですか？

範囲内の一部の点で関数が定義されていないか、無限大になっているためです。たとえばx = 0でのln(x)がそれにあたります。関数が定義されている範囲を選んでください。

無限の範囲を使えますか？

使えません。範囲は数で入力する必要があります。無限までの積分には別の方法が必要で、このツールはそれを提供しません。

入力した関数は外部に送られますか？

いいえ。関数はブラウザの中で読み取られ、計算されます。入力した内容が保存されたり、当サイトに送られたりすることはありません。

数値と文章の最終確認日：2026年11月12日木曜日。