Belirli İntegral Hesaplayıcı: Simpson Kuralı ve Hata Tahmini

Nasıl kullanılır?

Fonksiyon f(x) kutusuna fonksiyonu x cinsinden yazın, örneğin e^x.
Aralığın Alt sınır a ve Üst sınır b değerlerini girin.
Çift bir sayı olan Aralık sayısını girin. 4 ile başlayıp iki katına çıkararak değerin nasıl yerleştiğini görebilirsiniz.
a'dan b'ye integral ve Tahmini hata alanlarını okuyun; her adım için İşlem adımları bölümünü açın.

Simpson kuralı nasıl çalışır

İntegral, a'dan b'ye kadar f grafiği ile yatay eksen arasındaki işaretli alandır. Simpson kuralı her iki aralıktan oluşan çiftte eğriyi üç noktadan geçen bir parabolle değiştirir ve bu parabollerin altındaki alanları toplar.

Her aralığın genişliği h = (b − a) ÷ n'dir; n aralık sayısıdır ve çift olmalıdır. Formül için kullanılan açık metin kaynaklarda listelenmiştir.

a'dan b'ye ∫ f(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]

h   her aralığın genişliği = (b − a) ÷ n
fk  a + k·h noktasındaki fonksiyon değeri

Hata nasıl tahmin edilir

Simpson kuralının hatası h^4 ile orantılı olarak düşer: genişlik yarıya inince hata yaklaşık 16 kat küçülür. Hesaplayıcı, girdiğiniz aralıklarla S(n) değerini, iki katı aralıkla S(2n) değerini hesaplar ve aradaki farkı S(n)'nin hatasını tahmin etmek için kullanır.

Tahmin bu varsayıma dayanır. Fonksiyon aralıkta düzgünse gerçek hataya yakındır; sıçrama, keskin tepe ya da sonsuz olduğu noktaların yakınında ise çok yanılabilir.

S(n) değerinin hatası ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|

Kapsamadığı konular

Uygunsuz integraller: sınırın sonsuz olduğu ya da aralığın içinde fonksiyonun sonsuz olduğu durumlar.
İki ya da daha çok değişkenli fonksiyonların integralleri.
Kesin ilkel fonksiyon. Değer sayısal bir yaklaşımdır.
Sıçrama ya da çok keskin tepe içeren fonksiyonlar; burada hata tahmini güvenilir değildir.

Örnek: e^x fonksiyonunun 0'dan 1'e 4 aralıkla integrali

Genişlik h = (1 − 0) ÷ 4 = 0,25'tir. 4 aralıkla Simpson kuralı 1,718319 verir, 8 aralıkla 1,718284 verir. Fark 0,00003469'dur; hata tahmini bunun 16/15 katı, yani 0,00003700'dür.

Kesin değer e − 1 = 1,718282'dir, çünkü e^x'in türevi e^x'tir (OpenStax, Türev tablosu) ve bu nedenle ilkeli de e^x'tir. 4 aralıklı değerin gerçek hatası yaklaşık 0,00003701'dir; tahmin bununla uyumludur.

Sonuç	Değer
4 aralıkla integral	1,718319
Tahmini hata	0,00003700

Sık sorulan sorular

Belirli integral nedir?

Fonksiyonun grafiği ile yatay eksen arasında, alt sınırdan üst sınıra kadar kalan işaretli alandır. Grafik eksenin altında kaldığında o kısım negatif sayılır.

Aralık sayısı neden çift olmalı?

Simpson kuralı aralıkları ikişerli alır ve her ikilinin üzerine bir parabol oturtur. Tek sayıda aralık eşi olmadan kalır; bu yüzden hesaplayıcı çift bir sayı ister.

Aralık ekledikçe değer neden değişiyor?

Simpson kuralı bir yaklaşımdır. Daha çok aralık her şeridi daralttığı için hata hızla düşer ve değer yerleşir. Gösterilen tahmini hata, geriye ne kadar kaldığını kabaca gösterir.

Tahmini hata ne anlama geliyor?

Gösterilen değerin kesin integralden ne kadar uzak olabileceğini tahmin eder; iki kez daha çok aralıkla karşılaştırarak bulunur. Garantili bir sınır değildir ve fonksiyonun sıçradığı ya da keskin bir tepesi olduğu yerlerde yanılabilir.

Neden bir değer görmüyorum?

Fonksiyon aralığın bir noktasında tanımlı değil, örneğin sıfırda ln(x); ya da orada sonsuz. Fonksiyonun tanımlı olduğu sınırları seçin.

Sonsuz sınırlar kullanabilir miyim?

Hayır. Sınırlar sayı olmalıdır. Sonsuza kadar olan integraller başka bir yöntem ister ve bu hesaplayıcı onu vermez.

Hesaplayıcı işlevimi bir yere gönderiyor mu?

Hayır. İşlev tarayıcınızda okunur ve integrali orada hesaplanır. Yazdığınız hiçbir şey saklanmaz ya da bize gönderilmez.

Kaynaklar

Rakamlar ve metin en son 12 Kasım 2026 Perşembe tarihinde kontrol edildi.

Sonuç

İşlem adımları