निश्चित समाकलन कैलकुलेटर: सिंपसन नियम और त्रुटि के साथ

इसका इस्तेमाल कैसे करें

फलन f(x) में फलन लिखें, x में, जैसे e^x।
निचली सीमा a और ऊपरी सीमा b भरें।
अंतरालों की संख्या भरें, एक सम संख्या। 4 से शुरू करें और हर बार दोगुना करके देखें कि मान कैसे स्थिर होता है।
a से b तक समाकलन और अनुमानित त्रुटि पढ़ें, फिर हर चरण के लिए हिसाब खोलें।

सिंपसन नियम कैसे काम करता है

समाकलन f के ग्राफ और क्षैतिज अक्ष के बीच a से b तक का चिह्नित क्षेत्रफल है। सिंपसन नियम हर दो अंतरालों में वक्र को तीन बिंदुओं से गुजरने वाले परवलय से बदल देता है, और उन परवलयों के नीचे के क्षेत्रफल जोड़ देता है।

हर अंतराल की चौड़ाई h = (b − a) ÷ n है, जहाँ n अंतरालों की संख्या है और सम होनी चाहिए। सूत्र का स्रोत नीचे स्रोतों में दिया गया है।

∫ से a से b तक f(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]

h   हर अंतराल की चौड़ाई = (b − a) ÷ n
fk  बिंदु a + k·h पर फलन का मान

त्रुटि का अनुमान कैसे लगता है

सिंपसन नियम की त्रुटि h⁴ के अनुपात में घटती है: चौड़ाई आधी करने पर त्रुटि लगभग 16 गुना कम होती है। कैलकुलेटर आपके अंतरालों से मान S(n) और दोगुने अंतरालों से S(2n) निकालता है, और उनके अंतर से S(n) की त्रुटि का अनुमान लगाता है।

यह अनुमान उतना ही अच्छा है जितनी यह मान्यता। जहाँ फलन सीमा पर चिकना है, वहाँ यह सही त्रुटि के करीब है; छलाँग, तीखे शिखर या ऐसे बिंदु के पास जहाँ फलन अनंत है, वहाँ यह काफी दूर हो सकता है।

S(n) की त्रुटि ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|

यह कैलकुलेटर क्या नहीं देखता

अनुचित समाकलन: वह सीमा जो अनंत हो, या सीमा के भीतर कोई बिंदु जहाँ फलन अनंत हो।
दो या अधिक चरों के फलनों के समाकलन।
सटीक प्रतिअवकलज। मान एक संख्यात्मक सन्निकटन है।
ऐसे फलन जिनमें छलाँग या बहुत तीखा शिखर हो, जहाँ त्रुटि का अनुमान भरोसेमंद नहीं होता।

हल किया हुआ उदाहरण: 0 से 1 तक e^x, 4 अंतरालों के साथ

चौड़ाई h = (1 − 0) ÷ 4 = 0.25 है। 4 अंतरालों के साथ सिंपसन नियम 1.718319 देता है, और 8 अंतरालों के साथ 1.718284। अंतर 0.00003469 है, इसलिए अनुमानित त्रुटि उसका 16/15 है: 0.00003700।

सटीक मान e − 1 = 1.718282 है, क्योंकि e^x का अवकलज e^x है (OpenStax, अवकलजों की तालिका, अंग्रेजी में)। इसलिए 4 अंतरालों वाले मान की त्रुटि लगभग 0.00003701 है, जैसा अनुमान बताता है।

परिणाम	मान
4 अंतरालों के साथ समाकलन	1.718319
अनुमानित त्रुटि	0.00003700

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

निश्चित समाकलन क्या है?

यह फलन के ग्राफ और क्षैतिज अक्ष के बीच निचली सीमा से ऊपरी सीमा तक का चिह्नित क्षेत्रफल है। जहाँ ग्राफ अक्ष के नीचे है, वहाँ का क्षेत्रफल ऋणात्मक गिना जाता है।

अंतरालों की संख्या सम क्यों होनी चाहिए?

सिंपसन नियम अंतरालों को जोड़ों में लेता है और हर जोड़े पर एक परवलय फिट करता है। विषम संख्या में एक अंतराल बिना जोड़ीदार के रह जाता है, इसलिए कैलकुलेटर सम संख्या माँगता है।

अंतराल बढ़ाने पर मान क्यों बदलता है?

सिंपसन नियम एक सन्निकटन है। अधिक अंतराल हर पट्टी को संकरा करते हैं, और त्रुटि तेजी से घटती है, इसलिए मान स्थिर हो जाता है। अनुमानित त्रुटि बताती है कि अभी कितना अंतर बाकी हो सकता है।

अनुमानित त्रुटि का क्या मतलब है?

यह अनुमान लगाती है कि दिखाया गया मान सटीक समाकलन से कितना दूर हो सकता है, जो दोगुने अंतरालों से तुलना करके निकलता है। यह कोई गारंटीड सीमा नहीं है, और जहाँ फलन छलाँग लगाता है या तीखा शिखर रखता है, वहाँ गलत हो सकती है।

मुझे कोई मान क्यों नहीं मिलता?

फलन सीमा के कुछ बिंदु पर परिभाषित नहीं है, उदाहरण के लिए शून्य पर ln(x), या वहाँ अनंत है। ऐसी सीमाएँ चुनें जहाँ फलन परिभाषित हो।

क्या अनंत सीमाएँ उपयोग कर सकते हैं?

नहीं। सीमाएँ संख्याएँ होनी चाहिए। अनंत तक के समाकलन के लिए अलग विधि चाहिए, और यह कैलकुलेटर वह नहीं देता।

क्या यह कैलकुलेटर मेरा फलन कहीं भेजता है?

नहीं। फलन आपके ब्राउज़र में पढ़ा और समाकलित किया जाता है। आप जो कुछ भरते हैं वह न सहेजा जाता है न हम तक भेजा जाता है।

स्रोत

आँकड़े और टेक्स्ट आखिरी बार गुरुवार, 12 नवंबर 2026 को जाँचे गए।

परिणाम

हिसाब