حاسبة التكامل المحدد بقاعدة سيمبسون مع تقدير الخطأ

طريقة الاستخدام

اكتب الدالة في الدالة f(x)، بدلالة x، مثلاً e^x.
أدخل الحد الأدنى a والحد الأعلى b للمجال.
أدخل عدد الفترات، وهو عدد زوجي. ابدأ بـ 4 وضاعفه لترى كيف تستقر القيمة.
اقرأ التكامل من a إلى b والخطأ المقدّر، ثم افتح طريقة الحساب لترى كل خطوة.

كيف تعمل قاعدة سيمبسون

التكامل هو المساحة الموقعة بين منحنى الدالة f والمحور الأفقي، من a إلى b. تستبدل قاعدة سيمبسون المنحنى في كل زوج من الفترات بقطع مكافئ يمر بثلاث نقاط، ثم تجمع المساحات تحت هذه القطع المكافئة.

عرض كل فترة هو h = (b − a) ÷ n، حيث n عدد الفترات ويجب أن يكون زوجياً. النص المفتوح الذي استُقيت منه الصيغة مذكور في المصادر.

∫ من a إلى b للدالة f(x) dx ≈ (h/3) × [f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + … + 4f(n−1) + fn]

h   عرض كل فترة = (b − a) ÷ n
fk  قيمة الدالة عند النقطة a + k·h

كيف يُقدَّر الخطأ

يتناقص خطأ قاعدة سيمبسون بنسبة h^4: فتقليص العرض إلى النصف يخفض الخطأ بنحو 16 مرة. تحسب الحاسبة القيمة S(n) بفتراتك، والقيمة S(2n) بضعف عدد الفترات، وتستخدم الفرق بينهما لتقدير خطأ S(n).

التقدير لا يكون أفضل من هذا الافتراض. حيث تكون الدالة سلسة في المجال يقترب من الخطأ الحقيقي، أما قرب قفزة أو قمة حادة أو نقطة تصبح الدالة عندها لا نهائية، فقد يبتعد عنه كثيراً.

خطأ S(n) ≈ (16/15) × |S(n) − S(2n)|

ما لا تغطيه الحاسبة

التكاملات غير الفعلية: حد لا نهائي، أو نقطة داخل المجال تصبح الدالة لا نهائية عندها.
تكاملات الدوال ذات متغيرين أو أكثر.
الدالة الأصلية الدقيقة، فالقيمة تقريب عددي.
الدوال ذات القفزات أو القمم الحادة جداً، حيث لا يكون تقدير الخطأ موثوقاً.

مثال محلول: e^x من 0 إلى 1 بأربع فترات

العرض h = (1 − 0) ÷ 4 = 0.25. تعطي قاعدة سيمبسون بأربع فترات 1.718319، وبثماني فترات 1.718284. الفرق هو 0.00003469، لذلك الخطأ المقدّر هو 16/15 منه: 0.00003700.

القيمة الدقيقة هي e − 1 = 1.718282، لأن مشتقة e^x هي e^x (OpenStax، جدول المشتقات)، لذلك يكون خطأ القيمة بأربع فترات نحو 0.00003701، كما يتنبأ التقدير.

النتيجة	القيمة
التكامل بأربع فترات	1.718319
الخطأ المقدّر	0.00003700

الأسئلة الشائعة

ما هو التكامل المحدد؟

هو المساحة الموقعة بين منحنى الدالة والمحور الأفقي، من الحد الأدنى إلى الحد الأعلى. والجزء الذي يقع فيه المنحنى تحت المحور يُحسب سالباً.

لماذا يجب أن يكون عدد الفترات زوجياً؟

تأخذ قاعدة سيمبسون الفترات أزواجاً، وتركّب قطعاً مكافئاً على كل زوج. وعدد فردي يترك فترة واحدة بلا شريك، لذلك تطلب الحاسبة عدداً زوجياً.

لماذا تتغير القيمة عندما أضيف فترات؟

قاعدة سيمبسون تقريب. الفترات الأكثر تجعل كل شريحة أضيق، ويتناقص الخطأ بسرعة، فتستقر القيمة. ويبيّن الخطأ المقدّر تقريباً مقدار ما بقي منه.

ماذا يعني الخطأ المقدّر؟

يقدّر مدى بُعد القيمة المعروضة عن التكامل الدقيق، ويُحسب بمقارنتها بضعف عدد الفترات. وهو ليس حداً مضموناً، وقد يكون خاطئاً حيث تقفز الدالة أو لها قمة حادة.

لماذا لا تظهر أي قيمة؟

لأن الدالة غير معرّفة عند نقطة في المجال، مثل ln(x) عند الصفر، أو لا نهائية عندها. اختر حدوداً تكون الدالة معرّفة عندها.

هل يمكنني استخدام حدود لا نهائية؟

لا. يجب أن تكون الحدود أعداداً. والتكامل إلى ما لا نهاية يحتاج طريقة مختلفة، ولا تقدّمها هذه الحاسبة.

هل ترسل الحاسبة الدالة التي أكتبها إلى أي جهة؟

لا. تُقرأ الدالة وتُكامَل في متصفحك. ولا يُخزَّن ما تكتبه ولا يُرسل إلينا.

المصادر

آخر مراجعة للأرقام والنص: الخميس، 2 جمادى الآخرة 1448 بعد الهجرة.

النتيجة

طريقة الحساب