حاسبة الانحدار الخطي: خط المربعات الصغرى مع الخطوات

حاسبة الانحدار الخطي

اكتب زوجاً من قيمتي x وy في كل سطر. تحصل على معادلة أفضل خط مستقيم، والارتباط وR²، والأخطاء المعيارية، وتنبؤاً لـ x تختارها، والبواقي، ورسماً للبيانات مع الخط المحسوب.

مجانية تعمل داخل متصفحك آخر مراجعة: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة

طريقة الاستخدام

اكتب كل زوج من قيمتي x وy في سطر مستقل في أزواج x وy (زوج في كل سطر)، مع مسافة بين العددين.
اكتب قيمة x في توقع y لهذه القيمة x (اختياري) إن أردت توقعاً، واتركه فارغاً خلاف ذلك.
اقرأ خط المربعات الصغرى ومعامل الارتباط r وR²، والأخطاء المعيارية.
راجع جدول البواقي والرسم، ثم اتبع طريقة الحساب.

خط المربعات الصغرى

يُختار الخط y = a + bx بحيث يكون مجموع مربعات المسافات الرأسية من النقاط إلى الخط أصغر ما يمكن. الميل هو b = Sxy ÷ Sxx، حيث تجمع Sxy وSxx حواصل ومربعات انحرافات القيم عن متوسطاتها، والجزء المقطوع من المحور هو a = ȳ − b x̄.

معامل الارتباط r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy) يقع بين −1 و1. وR² = r² هي نسبة التغير في y التي يفسّرها الخط.

b = Sxy ÷ Sxx
a = ȳ − b × x̄
r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy)،  R² = r²

الأخطاء المعيارية والبواقي

الباقي هو الفرق y − ŷ بين النقطة والخط. والخطأ المعياري للبواقي s = √(SSE ÷ (n − 2)) يقيس حجمها المعتاد، والأخطاء المعيارية للميل والجزء المقطوع تبيّن مدى دقة تقديرهما من البيانات.

الارتباط القريب من 1 أو −1 لا يدل على أن x تسبب y، بل يدل فقط على أن النقاط قريبة من خط مستقيم.

SSE = Σ (y − ŷ)²،  s = √(SSE ÷ (n − 2))
SE(b) = s ÷ √Sxx،  SE(a) = s × √(1/n + x̄² ÷ Sxx)

ما لا تغطيه الحاسبة

أكثر من متغير x واحد (الانحدار المتعدد)، والمنحنيات، والبيانات المحوّلة.
فترات الثقة واختبارات الدلالة للميل؛ استخدم الأخطاء المعيارية مع القيمة الحرجة الخاصة بك.
أكثر من 200 زوج في حساب واحد، والأزواج التي تنقصها قيمة.

مثال محلول: x من 1 إلى 5 وy = 2، 4، 5، 4، 5

المتوسطان x̄ = 3 وȳ = 4. وSxx = 10 وSyy = 6 وSxy = 6، لذلك الميل b = 6 ÷ 10 = 0.6 والجزء المقطوع a = 4 − 0.6 × 3 = 2.2. الخط هو y = 0.6x + 2.2.

معامل الارتباط r = 0.7746، لذلك R² = 0.6. والخطأ المعياري للميل 0.2828، والتوقع عند x = 6 هو 0.6 × 6 + 2.2 = 5.8.

	النتيجة
الميل b	0.6
الجزء المقطوع a	2.2
معامل الارتباط r وR²	0.7746، 0.6
التوقع عند x = 6	5.8

الأسئلة الشائعة

كيف أدخل البيانات؟

اكتب كل زوج في سطر، بقيمة x ثم مسافة ثم قيمة y. استخدم النقطة العشرية، مثل 2.5. وكل سطر لا يحتوي على عددين بالضبط يُبلَّغ برقم سطره.

ماذا يخبرني R²؟

R² هي نسبة التغير في y التي يفسّرها الخط، وتقع بين 0 و1. وR² تساوي 0.6 تعني أن 60٪ من التغير في y تفسّرها x في نموذج الخط المستقيم.

ما هو الباقي؟

الباقي هو قيمة y المرصودة مطروحاً منها القيمة المحسوبة ŷ على الخط. البواقي الموجبة نقاط فوق الخط، والسالبة نقاط تحته، ومجموع البواقي يساوي 0 لخط المربعات الصغرى.

لماذا يستخدم الرسم خطوات متساوية لقيم x؟

الرسم خط بياني للنقاط مرتبة حسب x. وتوزَّع تسميات x بالتساوي، لذلك مع قيم x غير منتظمة جداً يكون شكل الخط دليلاً فقط، والجدول يعطي القيم الدقيقة.

لماذا أحتاج إلى ثلاثة أزواج على الأقل؟

تستخدم الأخطاء المعيارية درجات حرية n − 2، لذلك يمر الخط بزوجين تماماً ولا يخبرك عن خطئه شيئاً. وثلاثة أزواج هي الحد الأدنى الذي يعطي خطأً معيارياً.

هل تُرسل الأعداد التي أدخلها إلى خادم؟

لا. يجري الانحدار في متصفحك، ولا يُرسل إلينا أي شيء تكتبه.

المصادر

آخر مراجعة للأرقام والنص: الثلاثاء، 30 جمادى الأولى 1448 بعد الهجرة.

النتيجة

البيانات والخط المحسوب

طريقة الحساب