Калькулятор линейной регрессии: прямая наименьших квадратов

Калькулятор линейной регрессии

Введите по одной паре значений x и y в строке. Вы получите уравнение наилучшей прямой, корреляцию и R², стандартные ошибки, прогноз для выбранного x, остатки и график данных с подобранной прямой.

Бесплатно Работает в браузере Проверено вторник, 10 ноября 2026 г.

Как пользоваться

Введите каждую пару x и y в отдельной строке в поле Пары x и y (по одной паре в строке), с пробелом между двумя числами.
Введите x в поле Прогноз y для этого x (необязательно), если нужен прогноз; иначе оставьте поле пустым.
Прочитайте Прямая наименьших квадратов, Корреляция r и R², а также стандартные ошибки.
Проверьте таблицу Остатки: каждая точка и её отклонение от прямой и график, затем пройдите по Как получен результат.

Прямая наименьших квадратов

Прямая y = a + bx выбрана так, чтобы сумма квадратов вертикальных расстояний от точек до прямой была наименьшей возможной. Наклон b = Sxy ÷ Sxx, где Sxy и Sxx — суммы произведений и квадратов отклонений от средних, а свободный член a = ȳ − b x̄.

Корреляция r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy) лежит между −1 и 1. R² = r² — доля разброса y, которую объясняет прямая.

b = Sxy ÷ Sxx
a = ȳ − b × x̄
r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy),  R² = r²

Стандартные ошибки и остатки

Остаток — это разность y − ŷ между точкой и прямой. Стандартная ошибка оценки s = √(SSE ÷ (n − 2)) показывает их типичный размер, а стандартные ошибки наклона и свободного члена — насколько точно они оценены по данным.

Корреляция, близкая к 1 или −1, не показывает, что x вызывает y; она показывает лишь, что точки лежат близко к прямой.

SSE = Σ (y − ŷ)²,  s = √(SSE ÷ (n − 2))
SE(b) = s ÷ √Sxx,  SE(a) = s × √(1/n + x̄² ÷ Sxx)

Что калькулятор не охватывает

Более одной переменной x (множественная регрессия), кривые и преобразованные данные.
Доверительные интервалы и проверки значимости для наклона: используйте стандартные ошибки с собственным критическим значением.
Более 200 пар в одном расчёте и пары с пропущенным значением.

Пример: x от 1 до 5 и y = 2, 4, 5, 4, 5

Средние: x̄ = 3 и ȳ = 4. Sxx = 10, Syy = 6 и Sxy = 6, поэтому наклон b = 6 ÷ 10 = 0,6, а свободный член a = 4 − 0,6 × 3 = 2,2. Прямая: y = 0,6x + 2,2.

Корреляция r = 0,7746, поэтому R² = 0,6. Стандартная ошибка наклона равна 0,2828, а прогноз при x = 6 равен 0,6 × 6 + 2,2 = 5,8.

	Результат
Наклон b	0,6
Свободный член a	2,2
Корреляция r; R²	0,7746; 0,6
Прогноз при x = 6	5,8

Частые вопросы

Как ввести данные?

Каждую пару пишите в отдельной строке: значение x, пробел и значение y. Дробные числа пишите с запятой, например 2,5. Строки, где не ровно два числа, отмечаются с номером строки.

Что говорит R²?

R² — доля разброса y, которую объясняет прямая, от 0 до 1. R² = 0,6 означает, что 60 % разброса y объясняется x в линейной модели.

Что такое остаток?

Остаток — это наблюдаемое y минус подобранное значение ŷ на прямой. Положительные остатки — точки над прямой, отрицательные — под ней, а для прямой наименьших квадратов остатки в сумме дают 0.

Почему на графике равные шаги для значений x?

График — линейная диаграмма с точками в порядке x. Подписи x расставлены равномерно, поэтому при очень неравномерных x форма линии лишь ориентир; точные значения даёт таблица.

Зачем нужны хотя бы три пары?

Стандартные ошибки используют n − 2 степени свободы, поэтому две пары задают прямую точно и ничего не говорят о её ошибке. Три пары — минимум, при котором есть стандартная ошибка.

Отправляются ли введённые числа на сервер?

Нет. Регрессия выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.

Источники

Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..

Результат

Данные и подобранная прямая

Как получен результат