So verwenden Sie es
- Tragen Sie jedes Wertepaar aus x und y in Wertepaare aus x und y in einer eigenen Zeile ein, mit einem Leerzeichen zwischen beiden Zahlen.
- Geben Sie unter Vorhersage für y bei diesem x ein x ein, wenn Sie eine Vorhersage möchten. Lassen Sie das Feld sonst leer.
- Lesen Sie die Ausgleichsgerade der kleinsten Quadrate, die Korrelation r und R² sowie die Standardfehler ab.
- Prüfen Sie die Tabelle der Residuen und die Grafik und gehen Sie danach den Rechenweg durch.
Die Ausgleichsgerade
Die Gerade y = a + bx wird so gewählt, dass die quadrierten senkrechten Abstände der Punkte von der Geraden insgesamt so klein wie möglich sind. Die Steigung ist b = Sxy ÷ Sxx, wobei Sxy und Sxx die Summen der Produkte und der Quadrate der Abweichungen vom jeweiligen Mittelwert sind. Der Achsenabschnitt ist a = ȳ − b x̄.
Die Korrelation r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy) liegt zwischen −1 und 1. R² = r² ist der Anteil der Streuung von y, den die Gerade erklärt.
b = Sxy ÷ Sxx
a = ȳ − b × x̄
r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy), R² = r²Standardfehler und Residuen
Ein Residuum ist die Differenz y − ŷ zwischen einem Punkt und der Geraden. Der Standardfehler der Residuen s = √(SSE ÷ (n − 2)) misst ihre typische Größe. Die Standardfehler von Steigung und Achsenabschnitt zeigen, wie genau beide aus den Daten geschätzt sind.
Eine Korrelation nahe 1 oder −1 zeigt nicht, dass x die Ursache von y ist. Sie zeigt nur, dass die Punkte nahe bei einer Geraden liegen.
SSE = Σ (y − ŷ)², s = √(SSE ÷ (n − 2))
SE(b) = s ÷ √Sxx, SE(a) = s × √(1/n + x̄² ÷ Sxx)Was der Rechner nicht abdeckt
- Mehrere x-Variablen (multiple Regression), Kurven und transformierte Daten.
- Konfidenzintervalle und Signifikanztests für die Steigung. Verwenden Sie die Standardfehler mit Ihrem eigenen kritischen Wert.
- Mehr als 200 Paare in einer Berechnung und Paare mit einem fehlenden Wert.
Rechenbeispiel: x = 1 bis 5 und y = 2; 4; 5; 4; 5
Die Mittelwerte sind x̄ = 3 und ȳ = 4. Sxx = 10, Syy = 6 und Sxy = 6, also ist die Steigung b = 6 ÷ 10 = 0,6 und der Achsenabschnitt a = 4 − 0,6 × 3 = 2,2. Die Gerade lautet y = 0,6x + 2,2.
Die Korrelation ist r = 0,7746, also R² = 0,6. Der Standardfehler der Steigung beträgt 0,2828, und die Vorhersage bei x = 6 ist 0,6 × 6 + 2,2 = 5,8.
| Ergebnis | |
|---|---|
| Steigung b | 0,6 |
| Achsenabschnitt a | 2,2 |
| Korrelation r; R² | 0,7746; 0,6 |
| Vorhersage bei x = 6 | 5,8 |
Häufig gestellte Fragen
Wie gebe ich die Daten ein?
Schreiben Sie jedes Paar in eine eigene Zeile, mit dem x-Wert, einem Leerzeichen und dem y-Wert. Dezimalstellen schreiben Sie mit Komma. Zeilen, die nicht genau zwei Zahlen enthalten, werden mit ihrer Zeilennummer gemeldet.
Was sagt R² aus?
R² ist der Anteil der Streuung von y, den die Gerade erklärt, und liegt zwischen 0 und 1. Ein R² von 0,6 bedeutet, dass 60 % der Streuung von y durch x im Geradenmodell erklärt werden.
Was ist ein Residuum?
Ein Residuum ist der beobachtete Wert y minus der geschätzte Wert ŷ auf der Geraden. Positive Residuen liegen über der Geraden, negative darunter, und bei einer Ausgleichsgerade ergeben die Residuen zusammen 0.
Warum verwendet die Grafik gleiche Abstände für die x-Werte?
Die Grafik ist ein Liniendiagramm mit den Punkten in der Reihenfolge von x, und die x-Beschriftungen stehen in gleichen Abständen. Bei sehr ungleichen x-Werten ist die Form der Linie daher nur ein Anhaltspunkt. Die Tabelle nennt die genauen Werte.
Warum braucht man mindestens drei Paare?
Die Standardfehler verwenden n − 2 Freiheitsgrade. Zwei Paare passen die Gerade genau an und sagen nichts über ihre Unsicherheit aus. Drei Paare sind das Minimum, das einen Standardfehler liefert.
Werden die eingegebenen Zahlen an einen Server geschickt?
Nein. Die Regression läuft in Ihrem Browser, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.
Quellen
- Wikipedia (englisch): Simple linear regression, die Formeln der kleinsten Quadrate
- Wikipedia (englisch): Coefficient of determination, R²
- Wikipedia (englisch): Least squares
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.