线性回归计算器：最小二乘直线与步骤

线性回归计算器

每行输入一组 x 与 y 的值。您会得到最佳直线的方程、相关系数与 R²、标准误、您所选 x 的预测值、残差，以及数据与拟合直线的图表。

免费在浏览器中运行核对于2026年11月10日星期二

使用方法

直线 y = a + bx 的选取原则，是使各点到直线的竖直距离的平方和最小。斜率为 b = Sxy ÷ Sxx，其中 Sxy 与 Sxx 分别是偏差乘积与偏差平方的和（偏差相对于平均值计算）；截距为 a = ȳ − b x̄。

相关系数 r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy) 介于 −1与1之间。R² = r² 是直线所能解释的 y 变化的比例。

b = Sxy ÷ Sxx
a = ȳ − b × x̄
r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy)，R² = r²

残差是某个点与直线之间的差 y − ŷ。残差的标准误 s = √(SSE ÷ (n − 2)) 衡量它们的典型大小，而斜率与截距的标准误则说明它们从数据中估计得有多精确。

相关系数接近1或 −1，并不能说明 x 导致了 y；它只说明各点接近一条直线。

SSE = Σ (y − ŷ)²，s = √(SSE ÷ (n − 2))
SE(b) = s ÷ √Sxx，SE(a) = s × √(1/n + x̄² ÷ Sxx)

平均值为 x̄ = 3，ȳ = 4。Sxx = 10，Syy = 6，Sxy = 6，因此斜率 b = 6 ÷ 10 = 0.6，截距 a = 4 − 0.6 × 3 = 2.2。直线为 y = 0.6x + 2.2。

相关系数 r = 0.7746，因此 R² = 0.6。斜率的标准误为0.2828，x = 6时的预测值为 0.6 × 6 + 2.2 = 5.8。

怎样输入数据？

每对数据占一行，先写 x 值，然后是空格，再写 y 值。小数请使用句点。不是恰好两个数的行，计算器会指出其行号。

R² 告诉我什么？

R² 是直线所能解释的 y 变化的比例，介于0与1之间。R² 为0.6表示，在直线模型中，y 的变化有60% 可以由 x 解释。

什么是残差？

残差是观测到的 y 减去直线上的拟合值 ŷ。残差为正的点在直线上方，为负的点在直线下方；对于最小二乘直线，残差之和为0。

图表为什么对 x 值使用等距刻度？

图表是按 x 顺序排列各点的折线图。x 的刻度是等距的，因此当 x 值很不均匀时，直线的形状只能作为参考；精确数值请看表格。

为什么至少需要三对数据？

标准误使用 n − 2个自由度，两对数据恰好确定一条直线，无法告诉您它的误差。三对数据是能算出标准误的最少数量。

我输入的数字会被发送到服务器吗？

不会。回归计算完全在您的浏览器中完成，您输入的内容不会被保存，也不会发送给我们或任何其他服务器。

数据和文字最近核对于2026年11月10日星期二。