多项式求根计算器

使用方法

1. 选择 多项式的输入方式：多项式形式，或系数列表。
2. 在 x 的多项式 中输入多项式，或在 系数，从最高次幂起 中从最高次幂起输入各个数字。
3. 阅读 摘要 和 各根 表。检查 会告诉您，每个根代入后是否通过检验。
4. 阅读 计算过程，查看有理根检验、每一次除法，以及其余根的求法。

有理根、显式解与数值解

系数为整数的多项式，其有理根 p/q 中，p 整除常数项，q 整除首项系数。每个候选值都用综合除法检验；找到的每个根都会被除去，多项式因此逐步降次。剩下的二次式用求根公式求解，其平方根写作 k√m。只含 x² 的多项式，当其 y 根为有理数时，可令 y = x² 求解。

x = (−b ± √D) ÷ 2a，其中 D = b² − 4ac
p(x) = (x − r)·q(x) + 余数，对于根 r 余数为 0

• 一次和二次多项式总是精确求解；三次或四次多项式只有在有理根检验或 x² 形式把它化为二次式时，才能精确求解。
• 其他多项式，例如 x³ − 2或五次式，用数值方法求解：杜兰−克尔纳迭代一次求出全部根，再用牛顿步加以精修。
• 每个数值根都代入原多项式检验；相对残差接近10⁻¹⁵，说明它是精确的。

本计算器不涵盖的内容

本计算器处理一个关于 x 的、次数为1到6、系数为实数的多项式。非有理的重根由数值方法求得，因此其小数值可能比其他根的精度稍低。

• 次数为7或更高的多项式，以及多变量多项式，将被拒绝。
• 不使用卡尔丹公式（三次）和费拉里公式（四次）；这些情况由数值方法处理。
• 常数项非常大时，其除数只被部分搜索，页面会在这种情况下予以说明。

常见问题