使用方法
- 在 数 a（x² 前的系数） 中输入 x² 前的数。它不能为0。
- 在 数 b（x 前的系数） 中输入 x 前的数，在 数 c（常数项） 中输入常数项。负数前请写减号。
- 阅读 根（x 的值） 和 判别式。结果会随着输入即时更新。
- 查看 顶点、因式分解形式 和图像，并阅读 计算过程 了解每一步。
求根公式与判别式
二次方程的形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a 不为0。它的根由求根公式给出。平方根号下的数 D = b² − 4ac 称为判别式，它决定了根的类型。
x = (−b ± √D) ÷ 2a
D = b² − 4ac- D 大于0：两个不同的实根。
- D 等于0：一个实根，即 −b ÷ 2a，计作二重根。
- D 小于0：两个复根 a ± bi，其中 i 是 −1的平方根。
精确根与小数近似
当 D 是完全平方数时，根是简单分数。否则平方根以精确形式写出：对于 x² − 8x + 4 = 0，D = 48 = 4² × 3，因此根为 4 − 2√3 ≈ 0.5359与 4 + 2√3 ≈ 7.4641。
小数值使用公式的稳定形式：q = −(b + sgn(b)√D) ÷ 2，然后 x₁ = q ÷ a，x₂ = c ÷ q。若用教科书形式，当 −b 与 √D 符号相反且大小接近时，其中一个根会丢失大部分有效数字。稳定形式可以避免这种损失。
本计算器不涵盖的内容
- a 为0的方程（这是一次方程），以及三次及更高次的方程。
- D 中超过10,000的平方因子不会被去除，因此这样的根可能未被完全化简。
- 使用 x 以外变量的方程，或含有三个以上数的方程。
示例：x² − 5x + 6 = 0
取 a = 1，b = −5，c = 6，则判别式 D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1。D 为正且是完全平方数，因此两个根都是有理数：x = (5 ± 1) ÷ 2，即3和2。
顶点位于 x = 5/2，抛物线的最低点为 (2.5, −0.25)。因式分解形式为 (x − 2)(x − 3)，因此图像在2与3处与 x 轴相交。
| 结果 | |
|---|---|
| 根 | x₁ = 2且 x₂ = 3 |
| 判别式 | 1 |
| 顶点 | (2.5, −0.25) |
| 因式分解形式 | (x − 2)(x − 3) |
常见问题
什么是判别式？
判别式 D = b² − 4ac 是求根公式中平方根号下的部分。若 D 为正，有两个实根；若 D 为零，有一个二重根；若 D 为负，根为复数。
为什么会看到 4 − 2√3这样的根？
有些根既不是整数，也不是简单分数。页面先显示精确形式 4 − 2√3，然后是其小数值0.5359，您可以任选其一。
顶点是什么意思？
开口向上（a 大于0）的抛物线，其顶点是最低点；开口向下（a 小于0）的抛物线，其顶点是最高点。顶点的 x 值为 −b ÷ 2a。
a 可以为0吗？
不可以。若 a 为0，x² 项消失，方程成为一次方程，其唯一根为 −c ÷ b。二次方程需要一个不为0的 a。
能处理小数吗？
可以。小数会被精确读取，因此像0.5x² + x + 0.125 = 0这样的方程，无需先对其数字取整即可求解。
我输入的数字会被发送到服务器吗？
不会。方程完全在您的浏览器中求解，您输入的内容不会被保存，也不会发送给我们或任何其他服务器。
资料来源
数据和文字最近核对于2026年11月10日星期二。