Как пользоваться
- Введите число перед x² в Число a (перед x²). Оно не может быть 0.
- Введите число перед x в Число b (перед x), а свободный член в Число c (свободный член). Для отрицательных чисел ставьте знак минус.
- Прочитайте Корни (значения x) и Дискриминант D = b² − 4ac. Результат обновляется по мере ввода.
- Проверьте Вершина (точка поворота), Разложение на множители и график, а затем пройдите по Как получен результат, чтобы увидеть каждый шаг.
Формула корней и дискриминант
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a не равно 0. Его корни задаются формулой корней. Число под квадратным корнем, D = b² − 4ac, — это дискриминант, и он определяет, какие корни получаются.
x = (−b ± √D) ÷ 2a
D = b² − 4ac- D больше 0: два разных действительных корня.
- D равно 0: один действительный корень, −b ÷ 2a, который считается двойным.
- D меньше 0: два комплексных корня a ± bi, где i — квадратный корень из −1.
Точные корни и десятичные приближения
Когда D — полный квадрат, корни являются простыми дробями. В остальных случаях квадратный корень записывается точно: для x² − 8x + 4 = 0 имеем D = 48 = 4² × 3, поэтому корни равны 4 − 2√3 ≈ 0,5359 и 4 + 2√3 ≈ 7,4641.
Десятичные значения используют устойчивую форму формулы: q = −(b + sgn(b)√D) ÷ 2, с x₁ = q ÷ a и x₂ = c ÷ q. В школьной форме один из корней теряет большую часть знаков, когда −b и √D имеют разные знаки и почти равные величины. Устойчивая форма этого избегает.
Что калькулятор не охватывает
- Уравнения, где a равно 0, — они линейные, — и уравнения степени три и выше.
- Квадратные множители больше 10 000 в D не выносятся, поэтому такой корень может быть упрощён не полностью.
- Уравнения с переменной, отличной от x, или с более чем тремя числами.
Пример: x² − 5x + 6 = 0
При a = 1, b = −5 и c = 6 дискриминант равен D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. D положительно и является полным квадратом, поэтому оба корня рациональны: x = (5 ± 1) ÷ 2, что даёт 3 и 2.
Вершина находится при x = 5/2, а самая низкая точка параболы — (2,5; −0,25). Разложение на множители: (x − 2)(x − 3), поэтому график пересекает ось x в точках 2 и 3.
| Результат | |
|---|---|
| Корни | x₁ = 2 и x₂ = 3 |
| Дискриминант | 1 |
| Вершина | (2,5; −0,25) |
| Разложение на множители | (x − 2)(x − 3) |
Частые вопросы
Что такое дискриминант?
Дискриминант D = b² − 4ac — это часть формулы корней под квадратным корнем. Если D положительно, есть два действительных корня; если равно нулю — один двойной корень; если отрицательно — корни комплексные.
Почему я вижу корни вида 4 − 2√3?
Некоторые корни не являются ни целыми числами, ни простыми дробями. Сначала показана точная форма 4 − 2√3, затем её десятичное значение 0,5359, чтобы можно было пользоваться любой из них.
Что означает вершина?
Вершина — самая низкая точка параболы, открытой вверх (a больше 0), и самая высокая точка параболы, открытой вниз (a меньше 0). Её координата x равна −b ÷ 2a.
Может ли a быть нулём?
Нет. Если a равно 0, член x² исчезает и уравнение становится линейным, с единственным корнем −c ÷ b. Квадратное уравнение требует для a числа, отличного от нуля.
Работает ли калькулятор с десятичными числами?
Да. Десятичные числа читаются точно, поэтому уравнение вида 0,5x² + x + 0,125 = 0 решается без предварительного округления чисел.
Отправляются ли введённые числа на сервер?
Нет. Уравнение решается в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.
Источники
Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..