Калькулятор систем линейных уравнений: правило Крамера

Как пользоваться

Введите по одному уравнению в строке в поле Уравнения (по одному в строке). Для неизвестных используйте одиночные буквы, например x и y.
Прочитайте Решение. Если там сказано, что решений бесконечно много или нет совсем, читайте сообщение как есть.
Проверьте Приведённая система и для двух или трёх уравнений с таким же числом неизвестных — Правило Крамера.
Пройдите по Как получен результат, чтобы увидеть каждый шаг исключения.

Метод Гаусса

Уравнения записываются как матрица коэффициентов со свободными членами в конце. Метод Гаусса в форме Гаусса — Жордана меняет уравнения местами, умножает одно из них на число и вычитает из одного уравнения кратное другого, пока каждое неизвестное с ведущим элементом не останется одно, с коэффициентом 1.

Калькулятор использует точные дроби, поэтому ни один шаг не округляется. Решение затем считывается с приведённой системы.

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3   →   x = 2, y = 3, z = −1

Единственное, бесконечно много и ни одного решения

Система имеет одно решение, когда у каждого неизвестного есть ведущий элемент. Если уравнение сводится к виду 0 = c при c не равном 0, решения нет. Если у некоторых неизвестных нет ведущего элемента, они свободны: могут принимать любое значение, а остальные выражаются через них.

Для двух или трёх уравнений с таким же числом неизвестных и ненулевым определителем правило Крамера даёт каждое неизвестное как отношение двух определителей: x = Dx ÷ D, y = Dy ÷ D и так далее.

Что калькулятор не охватывает

Системы больше чем из шести уравнений или с более чем шестью неизвестными, а также нелинейные уравнения, например x² = 4.
Неизвестные, записанные как x/2 или в скобках: пишите число перед буквой, например 0,5x или (1/2)x.
Десятичные приближения и численные решатели для очень больших систем.

Пример: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3

После исключения приведённая система имеет вид x = 2, y = 3 и z = −1. У каждого неизвестного есть свой ведущий элемент, поэтому решение единственное.

Правило Крамера даёт тот же ответ: D = −1, Dx = −2, Dy = −3 и Dz = 1, поэтому x = (−2) ÷ (−1) = 2, y = (−3) ÷ (−1) = 3 и z = 1 ÷ (−1) = −1.

	Результат
x	2
y	3
z	−1
Определитель D	−1

Частые вопросы

Как записать уравнение для калькулятора?

Пишите одно уравнение в строке, с неизвестными слева и числом справа, например 2x + 3y = 7. Перед буквой пишите число-коэффициент и знак каждого слагаемого.

Что значит, что решений бесконечно много?

Уравнения зависят друг от друга, поэтому хотя бы одно неизвестное может быть любым числом. Тогда решение выражает остальные неизвестные через него, например x = 2 − y.

Почему калькулятор пишет, что решения нет?

Уравнения противоречат друг другу. Исключение приводит к строке вида 0 = c при c не равном 0, а это невозможно, поэтому ни одни значения неизвестных не решают все уравнения.

Когда показывается правило Крамера?

Оно показывается для двух или трёх уравнений с тем же числом неизвестных, когда определитель не равен 0. В остальных случаях решение получается только исключением, и правило Крамера не применяется.

Можно ли использовать дробные числа в уравнениях?

Да. Пишите их с запятой, например 0,5x + y = 1. Калькулятор читает их точно, поэтому 0,5 — это 1/2, и ответ не округляется.

Отправляются ли уравнения, которые я ввожу, на сервер?

Нет. Решение находится в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.

Источники

Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..

Результат

Как получен результат