Lineares Gleichungssystem lösen: Rechner mit Schritten

So verwenden Sie es

Tragen Sie in Gleichungen (eine pro Zeile) eine Gleichung pro Zeile ein. Verwenden Sie einzelne Buchstaben für die Unbekannten, zum Beispiel x und y.
Lesen Sie die Lösung ab. Steht dort, dass es unendlich viele oder keine Lösungen gibt, übernehmen Sie die Meldung so, wie sie dasteht.
Prüfen Sie das Reduzierte System und bei zwei oder drei Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten die Cramersche Regel.
Gehen Sie den Rechenweg durch, um jeden Eliminationsschritt zu sehen.

Gauß-Algorithmus

Die Gleichungen werden als Matrix der Koeffizienten geschrieben, die Konstanten stehen am Ende. Der Gauß-Algorithmus in der Gauß-Jordan-Form vertauscht Gleichungen, multipliziert eine Gleichung mit einer Zahl und subtrahiert ein Vielfaches einer Gleichung von einer anderen, bis jede Unbekannte mit Pivotelement allein mit dem Koeffizienten 1 dasteht.

Der Rechner verwendet exakte Brüche, daher wird kein Schritt gerundet. Die Lösung wird danach aus dem reduzierten System abgelesen.

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3   →   x = 2, y = 3, z = −1

Eindeutige, unendlich viele oder keine Lösung

Ein System hat genau eine Lösung, wenn jede Unbekannte ein Pivotelement hat. Reduziert sich eine Gleichung auf 0 = c mit c ungleich 0, gibt es keine Lösung. Haben einige Unbekannte kein Pivotelement, sind sie frei: Sie können jeden Wert annehmen, und die übrigen werden durch sie ausgedrückt.

Bei zwei oder drei Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten und einer Determinante ungleich null liefert die Cramersche Regel jede Unbekannte als Quotient zweier Determinanten: x = Dx ÷ D, y = Dy ÷ D und so weiter.

Was der Rechner nicht abdeckt

Systeme mit mehr als sechs Gleichungen oder mehr als sechs Unbekannten sowie nicht lineare Gleichungen wie x² = 4.
Unbekannte, die als x/2 oder in Klammern geschrieben sind. Schreiben Sie die Zahl davor, also 0,5x oder (1/2)x.
Dezimalnäherungen und numerische Löser für sehr große Systeme.

Rechenbeispiel: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3

Nach der Elimination lautet das reduzierte System x = 2, y = 3 und z = −1. Jede Unbekannte hat ihr Pivotelement, also ist die Lösung eindeutig.

Die Cramersche Regel liefert dasselbe Ergebnis: D = −1, Dx = −2, Dy = −3 und Dz = 1. Also ist x = (−2) ÷ (−1) = 2, y = (−3) ÷ (−1) = 3 und z = 1 ÷ (−1) = −1.

	Ergebnis
x	2
y	3
z	−1
Determinante D	−1

Häufig gestellte Fragen

Wie schreibe ich eine Gleichung für den Rechner?

Schreiben Sie eine Gleichung pro Zeile, mit den Unbekannten links und einer Zahl rechts, zum Beispiel 2x + 3y = 7. Den Faktor setzen Sie vor den Buchstaben, und das Vorzeichen jedes Glieds schreiben Sie dazu.

Was bedeutet es, wenn unendlich viele Lösungen angegeben werden?

Die Gleichungen hängen voneinander ab, daher kann mindestens eine Unbekannte jeden Wert annehmen. Die Lösung drückt dann die übrigen Unbekannten durch sie aus, zum Beispiel x = 2 − y.

Warum sagt der Rechner, dass es keine Lösung gibt?

Die Gleichungen widersprechen sich. Die Elimination führt auf eine Zeile 0 = c mit c ungleich 0, und das kann nicht stimmen. Deshalb gibt es keine Werte der Unbekannten, die alle Gleichungen erfüllen.

Wann wird die Cramersche Regel angezeigt?

Sie wird für zwei oder drei Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten angezeigt, wenn die Determinante nicht 0 ist. In anderen Fällen kommt die Lösung allein aus der Elimination, und die Cramersche Regel gilt nicht.

Kann ich Dezimalzahlen in den Gleichungen verwenden?

Ja, mit Komma, zum Beispiel 0,5x + y = 1. Der Rechner liest die Zahlen genau, daher ist 0,5 gleich 1/2, und das Ergebnis wird nicht gerundet.

Werden die eingegebenen Gleichungen an einen Server geschickt?

Nein. Die Lösung wird in Ihrem Browser berechnet, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.

Quellen

Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.

Ergebnis

Rechenweg