Solveur de systèmes linéaires : étapes et règle de Cramer

Mode d'emploi

Saisissez une équation par ligne dans Équations. Utilisez des lettres seules pour les inconnues, comme x et y.
Lisez Solution. S'il est écrit qu'il existe une infinité de solutions ou aucune, lisez le message tel quel.
Vérifiez le Système réduit et, pour deux ou trois équations à autant d'inconnues, la Règle de Cramer.
Parcourez le Détail du calcul pour voir chaque étape d'élimination.

Élimination de Gauss

Les équations s'écrivent sous forme de matrice des coefficients, avec les constantes à la fin. L'élimination de Gauss, dans sa forme de Gauss-Jordan, échange des équations, multiplie une équation par un nombre et retranche à une équation un multiple d'une autre, jusqu'à ce que chaque inconnue qui a un pivot se retrouve seule, avec un coefficient 1.

Le calculateur utilise des fractions exactes : aucune étape n'est arrondie. La solution se lit ensuite dans le système réduit.

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3   →   x = 2 ; y = 3 ; z = −1

Solution unique, infinité de solutions ou aucune

Un système a une solution unique lorsque chaque inconnue possède un pivot. Si une équation se réduit à 0 = c avec c différent de 0, il n'a aucune solution. Si certaines inconnues n'ont pas de pivot, elles sont libres : elles peuvent prendre n'importe quelle valeur, et les autres s'expriment en fonction d'elles.

Pour deux ou trois équations à autant d'inconnues, avec un déterminant non nul, la règle de Cramer donne chaque inconnue comme un quotient de deux déterminants : x = Dx ÷ D, y = Dy ÷ D, et ainsi de suite.

Ce que le calculateur ne couvre pas

Les systèmes de plus de six équations ou de plus de six inconnues, et les équations non linéaires, comme x² = 4.
Les inconnues écrites x/2 ou entre parenthèses : écrivez le nombre devant, comme 0,5x ou (1/2)x.
Les valeurs approchées et les solveurs numériques pour les très grands systèmes.

Exemple détaillé : 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3

Après élimination, le système réduit se lit x = 2 ; y = 3 ; z = −1. Chaque inconnue possède son pivot : la solution est donc unique.

La règle de Cramer donne la même réponse : D = −1, Dx = −2, Dy = −3 et Dz = 1, donc x = (−2) ÷ (−1) = 2, y = (−3) ÷ (−1) = 3 et z = 1 ÷ (−1) = −1.

	Résultat
x	2
y	3
z	−1
Déterminant D	−1

Questions fréquentes

Comment écrire une équation pour le calculateur ?

Mettez une équation par ligne, avec les inconnues à gauche et un nombre à droite, comme 2x + 3y = 7. Écrivez un nombre devant une lettre pour son coefficient, et indiquez le signe de chaque terme.

Que signifie une infinité de solutions ?

Les équations dépendent les unes des autres : au moins une inconnue peut prendre n'importe quelle valeur. La solution exprime alors les autres inconnues en fonction d'elle, comme x = 2 − y.

Pourquoi le calculateur dit-il qu'il n'y a aucune solution ?

Les équations se contredisent. L'élimination aboutit à une ligne qui se lit 0 = c avec c différent de 0, ce qui ne peut pas être vrai : aucune valeur des inconnues ne vérifie toutes les équations.

Quand la règle de Cramer est-elle affichée ?

Elle est affichée pour deux ou trois équations à autant d'inconnues lorsque le déterminant n'est pas nul. Dans les autres cas, la solution vient de l'élimination seule, et la règle de Cramer ne s'applique pas.

Puis-je utiliser des décimaux dans les équations ?

Oui. Écrivez-les avec une virgule, par exemple 0,5x + y = 1. Le calculateur les lit exactement : 0,5 vaut 1/2 et la réponse n'est pas arrondie.

Les équations que je saisis sont-elles envoyées à un serveur ?

Non. La solution se calcule dans votre navigateur, et rien de ce que vous saisissez n'est envoyé à nos serveurs.

Sources

Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.

Résultat

Détail du calcul