Mode d'emploi
- Choisissez la Saisie du polynôme : sous forme de polynôme, ou sous forme de liste de coefficients.
- Saisissez le polynôme dans Polynôme en x, ou les nombres du plus haut degré au plus bas dans Coefficients, du plus haut degré au plus bas.
- Lisez le Résumé et le tableau Les racines. Vérification indique si chaque racine passe le test par substitution.
- Parcourez Détail du calcul pour voir le test des racines rationnelles, chaque division et la méthode pour le reste.
Racines rationnelles, formes exactes et racines numériques
Une racine rationnelle p/q d'un polynôme à coefficients entiers a p qui divise le terme constant, et q qui divise le coefficient dominant. Chaque candidat est testé par division synthétique, et chaque racine trouvée est retirée par division, de sorte que le polynôme devient plus court. Le second degré qui reste se résout par la formule du second degré, et ses racines carrées s'écrivent k√m. Un polynôme en x² seul se résout par y = x² lorsque ses racines en y sont rationnelles.
x = (−b ± √D) ÷ 2a, avec D = b² − 4ac
p(x) = (x − r)·q(x) + reste, avec reste 0 pour une racine r- Les degrés 1 et 2 se résolvent toujours exactement ; un polynôme de degré 3 ou 4 ne se résout exactement que lorsque le test des racines rationnelles ou la forme en x² le ramène à un second degré.
- Les autres polynômes, comme x³ − 2 ou un polynôme de degré 5, se résolvent numériquement : Durand–Kerner trouve toutes les racines d'un coup, et des pas de Newton les affinent.
- Chaque racine numérique est vérifiée par substitution dans le polynôme initial ; un résidu relatif voisin de 10⁻¹⁵ signifie qu'elle est précise.
Ce que le calculateur ne couvre pas
Le calculateur traite un seul polynôme en x, de degré 1 à 6, à coefficients réels. Les racines multiples qui ne sont pas rationnelles sont trouvées numériquement ; leurs valeurs décimales peuvent donc être moins précises que les autres.
- Les polynômes de degré 7 ou plus, et les polynômes à plusieurs variables, sont refusés.
- Les formules de Cardan pour les équations de degré 3 et de Ferrari pour celles de degré 4 ne sont pas utilisées ; la méthode numérique couvre ces cas.
- Les diviseurs de très grands termes constants ne sont explorés qu'en partie, et la page l'indique lorsque cela se produit.
Exemple détaillé : 2x³ − 3x + 1 = 0
Les candidats sont ±1 et ±1/2. La division synthétique par x − 1 donne les coefficients 2, 2, −1 avec un reste de 0 : 1 est donc une racine, et le quotient est 2x² + 2x − 1.
Pour le quotient, D = 2² − 4 × 2 × (−1) = 12 = 2²·3, donc ses racines sont (−1 ± √3)/2, soit environ 0,366 et −1,366. Les trois racines sont réelles.
| Étape | Résultat |
|---|---|
| Racine rationnelle | 1 |
| Quotient après division par x − 1 | 2x² + 2x − 1 |
| Racines du quotient | (−1 ± √3)/2 ≈ 0,366 et −1,366 |
| Résumé | Degré 3 : 3 racines réelles |
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le test des racines rationnelles ?
Il liste les seuls nombres rationnels qui peuvent être racines d'un polynôme à coefficients entiers : p/q, où p divise le terme constant et q divise le coefficient dominant. Le calculateur teste chacun par division synthétique.
Pourquoi certaines racines sont-elles affichées en décimales ?
Une racine qui n'est pas rationnelle et n'a pas de forme fermée simple, comme la racine cubique de 2, est trouvée numériquement et affichée en décimales. La colonne du résidu montre à quel point elle est proche d'une vraie racine.
Que signifie le résidu ?
Le résidu est |p(x)| en la racine, divisé par la taille des termes du polynôme. Une valeur voisine de 10⁻¹⁵ signifie que la racine est juste à la limite de l'arithmétique ; une valeur plus grande signifie qu'elle est moins précise.
Comment saisir un polynôme avec des fractions ?
Utilisez la liste des coefficients et écrivez chaque fraction comme un nombre, par exemple 1/2 pour une moitié. Sous forme de polynôme, écrivez la fraction devant la puissance, sans parenthèses : 1/2x^2 + 1. Les produits entre parenthèses ne sont pas développés : écrivez donc le polynôme complet.
Mes nombres sont-ils envoyés à un serveur ?
Non. Les racines sont calculées dans votre navigateur : ce que vous saisissez ne nous est pas envoyé.
Sources
- Wikipédia (en anglais) : Rational root theorem
- Wikipédia (en anglais) : Synthetic division
- Wikipédia (en anglais) : Durand–Kerner method
- Wikipédia (en anglais) : Cubic equation
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.