多項式の根計算機

使い方

1. 多項式の入力方法を選びます。多項式として入力するか、係数の一覧として入力します。
2. xの多項式に多項式を入力するか、係数（次数の高い順）に次数の高い順の数を入力します。
3. 要約と根の表を読みます。確認では、各根を代入した結果がすべて合格かどうかが分かります。
4. 計算の過程を開くと、有理根の判定、各除法、残りの根を求める方法が見られます。

有理根、閉じた形、数値的な根

整数係数の多項式の有理根p/qは、pが定数項の約数、qが最高次の係数の約数です。各候補は組立除法で調べ、見つかった根は割り去るため、多項式は短くなっていきます。残った二次式は解の公式で解き、その平方根はk√mの形で書きます。x²だけの多項式は、y = x²とおき、yの根が有理数ならば解けます。

x = (−b ± √D) ÷ 2a、ただしD = b² − 4ac
p(x) = (x − r)·q(x) + 余り、根rでは余りは0

• 次数1と2は常に正確に解けます。3次や4次は、有理根の判定かx²の形によって二次式に帰着する場合にだけ、正確に解けます。
• x³ − 2や5次式のような、そのほかの多項式は数値的に解きます。デュラン・カーナー法で全部の根をまとめて求め、ニュートン法で精度を上げます。
• 数値的な根は、それぞれ元の多項式に代入して確認します。相対残差が10⁻¹⁵付近なら、その根は正確です。

このツールが扱わない範囲

このツールは、実数係数の、xについての次数1から6の多項式を1つ扱います。有理数でない根は数値的に求めるため、その小数値は、ほかの根より精度が低いことがあります。

• 次数7以上の多項式、および複数の変数の多項式は受け付けません。
• 3次式のカルダノの公式、4次式のフェラーリの公式は使いません。数値的方法がそれらの場合を扱います。
• 非常に大きな定数項の約数は、一部しか探索しません。その場合は、そのことを示します。

よくある質問