Como usar
- Escolha Como digitar o polinômio: como polinômio, ou como lista de coeficientes.
- Digite o polinômio em Polinômio em x, ou os números do maior expoente para o menor em Coeficientes, do maior expoente para o menor.
- Leia o Resumo e a tabela As raízes. A Verificação diz se cada raiz passa no teste por substituição.
- Siga Como se calcula para ver o teste das raízes racionais, cada divisão e o método para o resto.
Raízes racionais, formas fechadas e raízes numéricas
Uma raiz racional p/q de um polinômio com coeficientes inteiros tem p dividindo o termo constante e q dividindo o coeficiente líder. Cada candidata é testada por divisão sintética, e cada raiz encontrada é dividida para fora, então o polinômio fica menor. Um trinômio que sobra é resolvido pela fórmula de Bhaskara, e suas raízes quadradas são escritas como k√m. Um polinômio só em x² é resolvido por y = x² quando as suas raízes em y são racionais.
x = (−b ± √D) ÷ 2a, com D = b² − 4ac
p(x) = (x − r)·q(x) + resto, com resto 0 para uma raiz r- Graus 1 e 2 são sempre resolvidos com exatidão; um cúbico ou um quártico só é resolvido com exatidão quando o teste das raízes racionais ou a forma em x² o reduz a um trinômio.
- Outros polinômios, como x³ − 2 ou um quíntico, são resolvidos numericamente: Durand–Kerner encontra todas as raízes de uma vez, e passos de Newton as refinam.
- Cada raiz numérica é verificada substituindo-a no polinômio original; um resíduo relativo perto de 10⁻¹⁵ significa que ela é precisa.
O que a calculadora não cobre
A calculadora trata um polinômio em x de grau 1 a 6 com coeficientes reais. Raízes múltiplas que não são racionais são encontradas numericamente, então os seus valores decimais podem ser menos precisos que os das outras.
- Polinômios de grau 7 ou mais, e polinômios em várias variáveis, são recusados.
- As fórmulas de Cardano para cúbicas e de Ferrari para quárticas não são usadas; o método numérico cobre esses casos.
- Divisores de termos constantes muito grandes só são pesquisados em parte, e a página diz isso quando acontece.
Exemplo resolvido: 2x³ − 3x + 1 = 0
As candidatas são ±1 e ±1/2. A divisão sintética por x − 1 dá os coeficientes 2, 2, −1 com resto 0, então 1 é raiz e o quociente é 2x² + 2x − 1.
Para o quociente, D = 2² − 4 × 2 × (−1) = 12 = 2²·3, então as suas raízes são (−1 ± √3)/2, cerca de 0,366 e −1,366. As três raízes são reais.
| Etapa | Resultado |
|---|---|
| Raiz racional | 1 |
| Quociente após dividir por x − 1 | 2x² + 2x − 1 |
| Raízes do quociente | (−1 ± √3)/2 ≈ 0,366 e −1,366 |
| Resumo | Grau 3: 3 raízes reais |
Perguntas frequentes
O que é o teste das raízes racionais?
Ele lista os únicos números racionais que podem ser raízes de um polinômio com coeficientes inteiros: p/q, em que p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. A calculadora testa cada um por divisão sintética.
Por que algumas raízes aparecem como decimais?
Uma raiz que não é racional e não tem forma fechada simples, como a raiz cúbica de 2, é encontrada numericamente e mostrada como decimal. A coluna de resíduo mostra quão perto ela está de uma raiz verdadeira.
O que significa o resíduo?
O resíduo é |p(x)| na raiz, dividido pelos tamanhos dos termos do polinômio. Um valor perto de 10⁻¹⁵ significa que a raiz está correta até o limite da aritmética; um valor maior significa que a raiz é menos precisa.
Como digito um polinômio com frações?
Use a lista de coeficientes e escreva cada fração como número, como 1/2 para meio. Na forma digitada, escreva a fração na frente da potência, sem parênteses: 1/2x^2 + 1. Produtos de parênteses não são expandidos, então escreva o polinômio por extenso.
Meus números são enviados a algum servidor?
Não. As raízes são calculadas no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.
Fontes
- Wikipédia (em inglês): Rational root theorem
- Wikipédia (em inglês): Synthetic division
- Wikipédia (em inglês): Durand–Kerner method
- Wikipédia (em inglês): Cubic equation
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.