Calculadora de números complexos com raízes e forma polar

Como usar

Digite em Primeiro número z₁ o primeiro número, como a + bi ou como r∠ângulo.
Escolha a Operação. Para as quatro operações aritméticas, digite o segundo número em Segundo número z₂; para uma potência ou uma raiz, digite o inteiro em Potência n ou raiz n.
Leia o Resultado. A tabela Formas do resultado mostra as formas retangular, polar e exponencial; numa raiz, a tabela As raízes n-ésimas lista cada uma.
Siga Como se calcula, passo a passo.

Formas retangular, polar e exponencial

Um número complexo é a + bi, com i² = −1. Seu módulo é |a + bi| = √(a² + b²), e seu argumento é o ângulo arg z = atan2(b; a) a partir do eixo real positivo. A forma polar é r∠θ = r(cos θ + i sen θ), e a forma exponencial é r·e^(iθ), com θ em radianos. Multiplicar dois números multiplica os seus módulos e soma os seus argumentos, por isso potências e raízes são mais simples na forma polar.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) ÷ (c² + d²)
As raízes n-ésimas de r∠θ: r^(1/n) ∠ (θ + 360°k) ÷ n

As raízes n-ésimas de um número não nulo são n pontos igualmente espaçados em um círculo de raio |z|^(1/n).
O argumento é o principal: fica entre −180° e 180°, e os ângulos das raízes são mostrados nesse intervalo.
Um número retangular digitado como a + bi é calculado com exatidão; um número polar, suas raízes e seu argumento são decimais.

O que a calculadora não cobre

A calculadora trata um ou dois números complexos por vez, com partes reais e imaginárias. Ela não resolve equações com incógnitas complexas, e não dá raízes exatas para a maioria dos números: uma raiz que não é número simples aparece como decimal.

Potências e raízes são limitadas a expoentes de −20 a 20 e a raízes de ordem 1 a 12.
A forma exponencial usa radianos, como a matemática pede, mesmo quando os ângulos aparecem em graus.
Divisão por um número complexo igual a 0 é recusada.

Exemplo resolvido: (3 + 4i)(1 − 2i) e as raízes cúbicas de 8

O produto é (3 × 1 − 4 × (−2)) + (3 × (−2) + 4 × 1)i = 11 − 2i. O módulo de 3 + 4i é √25 = 5, e o quociente (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = −1 + 2i.

As raízes cúbicas de 8, que tem módulo 8 e ângulo 0°, têm módulo 2 e ângulos 0°, 120° e −120°. São 2, −1 + 1,7321i e −1 − 1,7321i.

Pergunta	Resposta
(3 + 4i)(1 − 2i)	11 − 2i
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)	−1 + 2i
\|3 + 4i\|	5
Raízes cúbicas de 8, a segunda	−1 + 1,7321i

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre a forma polar e a exponencial?

As duas dão o mesmo número, com o mesmo módulo r e o mesmo argumento θ. A forma polar se escreve r∠θ, e a exponencial, r·e^(iθ), com θ sempre em radianos, como a matemática exige.

Por que algumas raízes aparecem com ângulo de −120° em vez de 240°?

A página mostra todos os ângulos entre −180° e 180°. O ângulo de 240° tem a mesma direção que −120°, então as duas dão a mesma raiz.

Como digitar um número com fração?

Digite a fração na parte que você precisa: 1/2 + 3/4i é meio mais três quartos de i. Decimais também funcionam, com a vírgula decimal do português.

Quando o resultado mostra uma fração como 1/3?

Só quando o valor exato não tem decimal finito, como 1/3. A calculadora mantém a fração em vez de arredondar. Um valor como 3/25 é exatamente 0,12, por isso aparece como esse decimal.

Os números que eu digito são enviados a algum servidor?

Não. O cálculo roda no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.

Fontes

Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.

Resultado

Como se calcula