Karmaşık Sayı Hesaplama: İşlemler, Kökler ve Kutupsal Biçim

Nasıl kullanılır?

Birinci sayıyı Birinci sayı z₁ kutusuna a + bi ya da r∠açı olarak yazın.
İşlem listesinden bir seçenek seçin. Dört temel işlemde ikinci sayıyı İkinci sayı z₂ kutusuna yazın; kuvvet ya da kökte tam sayıyı Kuvvet n ya da kök n kutusuna yazın.
Sonuç değerini okuyun. Sonucun biçimleri tablosu dikdörtgensel, kutupsal ve üstel biçimi gösterir; kökte n. kökler tablosu her kökü listeler.
Her adım için Nasıl hesaplandı bölümüne bakın.

Dikdörtgensel, kutupsal ve üstel biçimler

Karmaşık sayı, i² = −1 olmak üzere a + bi biçimindedir. Modülü |a + bi| = √(a² + b²), argümanı ise pozitif gerçek eksenden ölçülen açı olan arg z = atan2(b, a)'dır. Kutupsal biçim r∠θ = r(cos θ + i sin θ), üstel biçim ise r·e^(iθ)'dir; θ radyandır. İki sayıyı çarpmak modüllerini çarpar, argümanlarını toplar; bu yüzden kuvvet ve kökler kutupsal biçimde daha kolaydır.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) ÷ (c² + d²)
r∠θ'nın n. kökleri: r^(1/n) ∠ (θ + 360°k) ÷ n

Sıfırdan farklı bir sayının n. kökleri, yarıçapı |z|^(1/n) olan bir çember üzerinde eşit aralıklı n noktadır.
Argüman asal değerdir: −180° ile 180° arasındadır ve kökün açıları bu aralıkta gösterilir.
a + bi biçiminde yazılan dikdörtgensel sayı tam hesaplanır; kutupsal bir sayı, kökleri ve argümanı ondalık sayıdır.

Hesap makinesinin kapsamadıkları

Hesap makinesi bir seferde bir ya da iki karmaşık sayı alır; gerçek ve sanal kısımlarla çalışır. Bilinmeyeni karmaşık sayı olan denklemleri çözmez ve çoğu sayının tam köklerini vermez; basit bir sayı olmayan kök ondalık olarak gösterilir.

Kuvvetler −20 ile 20 arasındaki üslerle, kökler 1 ile 12 arasındaki derecelerle sınırlıdır.
Üstel biçimde açı, derece olarak gösterilse bile matematikte olduğu gibi radyandır.
Değeri 0 olan karmaşık bir sayıya bölme reddedilir.

Örnek: (3 + 4i)(1 − 2i) ve 8'in küp kökleri

Çarpım (3 × 1 − 4 × (−2)) + (3 × (−2) + 4 × 1)i = 11 − 2i'dir. 3 + 4i'nin modülü √25 = 5'tir ve (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = −1 + 2i'dir.

Modülü 8, açısı 0° olan 8'in küp kökleri, modülü 2 ve açıları 0°, 120° ve −120° olan sayılardır: 2, −1 + 1,7321i ve −1 − 1,7321i.

Soru	Cevap
(3 + 4i)(1 − 2i)	11 − 2i
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)	−1 + 2i
\|3 + 4i\|	5
8'in küp kökleri, ikincisi	−1 + 1,7321i

Sık sorulan sorular

Kutupsal biçim ile üstel biçim arasındaki fark nedir?

İkisi de aynı modül r ve argüman θ ile aynı sayıyı verir. Kutupsal biçim r∠θ, üstel biçim r·e^(iθ) olarak yazılır ve θ her zaman radyandır, matematiğin gerektirdiği gibi.

Bazı kökler neden 240° yerine −120° açıyla gösteriliyor?

Sayfa her açıyı −180° ile 180° arasında gösterir. 240° ile −120° aynı yöne bakar; bu yüzden ikisi de aynı kökü verir.

Kesirli bir sayıyı nasıl yazarım?

Kesri ihtiyacınız olan kısımda yazın: 1/2 + 3/4i, yarım artı i'nin dörtte üçü demektir. Ondalık sayılar da kendi dilinizin ondalık ayracıyla çalışır.

Sonuç ne zaman 1/3 gibi bir kesir gösterir?

Yalnızca tam değerin sonlu bir ondalığı olmadığında, örneğin 1/3'te. Hesap makinesi bunu yuvarlamak yerine kesir olarak tutar. 3/25 gibi bir değer tam olarak 0,12'dir; bu yüzden o ondalık olarak gösterilir.

Yazdığım sayılar bir sunucuya gönderiliyor mu?

Hayır. Hesap tarayıcınızda yapılır; yazdığınız hiçbir şey bize gönderilmez.

Kaynaklar

Rakamlar ve metin en son 10 Kasım 2026 Salı tarihinde kontrol edildi.

Sonuç

Nasıl hesaplandı