Калькулятор комплексных чисел: действия и полярная форма

Калькулятор комплексных чисел

Введите комплексное число как a + bi или в полярной форме как r∠угол. Выберите действие: вы получите точный результат для чисел в алгебраической форме, три формы ответа и каждый шаг расчёта.

Бесплатно Работает в браузере Проверено вторник, 10 ноября 2026 г.

Как пользоваться

Введите первое число в Первое число z₁, как a + bi или как r∠угол.
Выберите Действие. Для четырёх арифметических действий введите второе число в Второе число z₂; для степени или корня введите целое число в Степень n или корень n.
Прочитайте Результат. Таблица Формы результата показывает алгебраическую, полярную и показательную формы; для корня таблица Корни n-й степени перечисляет все корни.
Пройдите по Как получен результат, чтобы увидеть каждый шаг.

Алгебраическая, полярная и показательная формы

Комплексное число — это a + bi, где i² = −1. Его модуль равен |a + bi| = √(a² + b²), а аргумент — это угол arg z = atan2(b, a) от положительной действительной оси. Полярная форма — r∠θ = r(cos θ + i sin θ), показательная — r·e^(iθ), причём θ берётся в радианах. При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются, поэтому степени и корни проще всего считать в полярной форме.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) ÷ (c² + d²)
Корни n-й степени из r∠θ: r^(1/n) ∠ (θ + 360°k) ÷ n

Корни n-й степени ненулевого числа — это n точек, равномерно расположенных на окружности радиуса |z|^(1/n).
Аргумент берётся главным: он лежит между −180° и 180°, и углы корней показаны в этом промежутке.
Число, введённое как a + bi, считается точно; полярное число, его корни и аргумент — десятичные дроби.

Что калькулятор не охватывает

Калькулятор работает с одним или двумя комплексными числами за раз, с действительными и мнимыми частями. Он не решает уравнения с комплексными неизвестными и не даёт точных корней для большинства чисел: корень, который не является простым числом, показан десятичной дробью.

Степени и корни ограничены показателями от −20 до 20 и корнями порядка от 1 до 12.
Показательная форма использует радианы, как принято в математике, даже когда углы показаны в градусах.
Деление на комплексное число, равное 0, не выполняется.

Пример: (3 + 4i)(1 − 2i) и кубические корни из 8

Произведение равно (3 × 1 − 4 × (−2)) + (3 × (−2) + 4 × 1)i = 11 − 2i. Модуль 3 + 4i равен √25 = 5, а частное (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = −1 + 2i.

Кубические корни из 8 (модуль 8, угол 0°) имеют модуль 2 и углы 0°, 120° и −120°. Это числа 2, −1 + 1,7321i и −1 − 1,7321i.

Вопрос	Ответ
(3 + 4i)(1 − 2i)	11 − 2i
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)	−1 + 2i
\|3 + 4i\|	5
Второй кубический корень из 8	−1 + 1,7321i

Частые вопросы

В чём разница между полярной и показательной формами?

Обе дают одно и то же число с одинаковым модулем r и аргументом θ. Полярная форма записывается как r∠θ, а показательная — как r·e^(iθ), причём θ всегда в радианах, как того требует математика.

Почему некоторые корни показаны с углом −120° вместо 240°?

Страница показывает каждый угол между −180° и 180°. Угол 240° — то же направление, что и −120°, поэтому оба дают один и тот же корень.

Как ввести число с дробью?

Введите дробь в нужной части: 1/2 + 3/4i — это одна вторая плюс три четверти i. Десятичные числа тоже работают, с десятичной запятой, как принято в русском написании.

Когда результат показывает дробь вроде 1/3?

Только тогда, когда точное значение не имеет конечной десятичной записи, как у 1/3. Калькулятор не округляет такое значение, а оставляет дробь. Значение вроде 3/25 равно точно 0,12, поэтому оно показано как десятичная дробь.

Отправляются ли введённые числа на сервер?

Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.

Источники

Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..

Результат

Как получен результат