Komplexe Zahlen berechnen: Rechenarten, Wurzeln, Polarform

So verwenden Sie es

Tragen Sie die erste Zahl unter Erste Zahl z₁ ein, als a + bi oder als r∠Winkel.
Wählen Sie die Rechenart. Bei den vier Grundrechenarten tragen Sie die zweite Zahl unter Zweite Zahl z₂ ein, bei einer Potenz oder Wurzel die ganze Zahl unter Potenz n oder Wurzel n.
Lesen Sie das Ergebnis ab. Die Tabelle Darstellungen des Ergebnisses zeigt die algebraische, die Polar- und die Exponentialform. Bei einer Wurzel listet die Tabelle Die n-ten Wurzeln alle Wurzeln auf.
Gehen Sie jeden Schritt unter So wird es berechnet durch.

Algebraische Form, Polarform und Exponentialform

Eine komplexe Zahl ist a + bi mit i² = −1. Ihr Betrag ist |a + bi| = √(a² + b²), ihr Argument ist der Winkel arg z = atan2(b; a) vom positiven Teil der reellen Achse aus. Die Polarform ist r∠θ = r(cos θ + i sin θ), die Exponentialform ist r·e^(iθ), mit θ im Bogenmaß. Beim Multiplizieren werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Deshalb sind Potenzen und Wurzeln in Polarform am einfachsten.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) ÷ (c² + d²)
Die n-ten Wurzeln von r∠θ: r^(1/n) ∠ (θ + 360°k) ÷ n

Die n-ten Wurzeln einer Zahl ungleich null sind n Punkte, die gleichmäßig auf einem Kreis mit dem Radius |z|^(1/n) liegen.
Das Argument ist der Hauptwert: Es liegt zwischen −180° und 180°, und die Winkel der Wurzeln werden in diesem Bereich angezeigt.
Eine Zahl in der Form a + bi wird genau gerechnet. Eine Polarzahl, ihre Wurzeln und ihr Argument sind Dezimalzahlen.

Was der Rechner nicht abdeckt

Der Rechner behandelt jeweils eine oder zwei komplexe Zahlen mit Real- und Imaginärteil. Er löst keine Gleichungen mit komplexen Unbekannten, und er liefert für die meisten Zahlen keine genauen Wurzeln. Eine Wurzel, die keine einfache Zahl ist, wird als Dezimalzahl angezeigt.

Potenzen und Wurzeln sind auf Exponenten von −20 bis 20 und Wurzeln der Ordnung 1 bis 12 beschränkt.
Die Exponentialform verwendet das Bogenmaß, wie es die Mathematik verlangt, auch wenn die Winkel in Grad angezeigt werden.
Eine Division durch eine komplexe Zahl gleich 0 wird abgelehnt.

Rechenbeispiel: (3 + 4i)(1 − 2i) und die dritten Wurzeln von 8

Das Produkt ist (3 × 1 − 4 × (−2)) + (3 × (−2) + 4 × 1)i = 11 − 2i. Der Betrag von 3 + 4i ist √25 = 5, und der Quotient (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) ist −1 + 2i.

Die dritten Wurzeln (Kubikwurzeln) von 8 haben den Betrag 2 und die Winkel 0°, 120° und −120°, denn 8 hat den Betrag 8 und den Winkel 0°. Sie lauten 2, −1 + 1,7321i und −1 − 1,7321i.

Frage	Antwort
(3 + 4i)(1 − 2i)	11 − 2i
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)	−1 + 2i
\|3 + 4i\|	5
Dritte Wurzeln von 8, die zweite	−1 + 1,7321i

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Polar- und Exponentialform?

Beide geben dieselbe Zahl mit demselben Betrag r und Argument θ an. Die Polarform schreibt man r∠θ, die Exponentialform r·e^(iθ). Dabei steht θ immer im Bogenmaß, wie es die Mathematik verlangt.

Warum wird eine Wurzel mit dem Winkel −120° statt 240° angezeigt?

Die Seite zeigt jeden Winkel zwischen −180° und 180°. Der Winkel 240° weist in dieselbe Richtung wie −120°, daher ergeben beide dieselbe Wurzel.

Wie gebe ich eine Zahl mit Bruch ein?

Tragen Sie den Bruch in dem Teil ein, den Sie brauchen: 1/2 + 3/4i ist eine Hälfte plus drei Viertel von i. Auch Dezimalzahlen mit Komma funktionieren.

Wann zeigt das Ergebnis einen Bruch wie 1/3?

Nur dann, wenn der genaue Wert keine endliche Dezimalzahl hat, wie 1/3. Der Rechner behält ihn als Bruch, statt zu runden. Ein Wert wie 3/25 ist genau 0,12 und wird deshalb als diese Dezimalzahl angezeigt.

Werden die Zahlen, die ich eingebe, an einen Server geschickt?

Nein. Die Berechnung läuft in Ihrem Browser, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.

Quellen

Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.

Ergebnis

So wird es berechnet