Números complejos: operaciones, raíces y forma polar

Cómo se usa

Escriba el primer número en Primer número z₁, como a + bi o como r∠ángulo.
Elija la Operación. Para las cuatro operaciones aritméticas, escriba el segundo número en Segundo número z₂; para una potencia o una raíz, escriba el número entero en Potencia n o raíz n.
Lea el Resultado. La tabla Formas del resultado muestra las formas binómica, polar y exponencial; para una raíz, la tabla Las raíces n-ésimas enumera todas.
Revise Cómo se calcula para ver cada paso.

Formas binómica, polar y exponencial

Un número complejo es a + bi, con i² = −1. Su módulo es |a + bi| = √(a² + b²), y su argumento es el ángulo arg z = atan2(b; a) desde el eje real positivo. La forma polar es r∠θ = r(cos θ + i sen θ), y la forma exponencial es r·e^(iθ), con θ en radianes. Multiplicar dos números multiplica sus módulos y suma sus argumentos, por eso las potencias y las raíces son más fáciles en forma polar.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(a + bi) ÷ (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) ÷ (c² + d²)
Las raíces n-ésimas de r∠θ: r^(1/n) ∠ (θ + 360°k) ÷ n

Las raíces n-ésimas de un número distinto de cero son n puntos repartidos por igual sobre una circunferencia de radio |z|^(1/n).
El argumento es principal: está entre −180° y 180°, y los ángulos de las raíces se muestran en ese intervalo.
Un número en forma binómica, escrito como a + bi, se calcula con exactitud; un número polar, sus raíces y su argumento son decimales.

Lo que la calculadora no cubre

La calculadora trabaja con uno o dos números complejos a la vez, con partes reales e imaginarias. No resuelve ecuaciones con incógnitas complejas y no da raíces exactas de la mayoría de los números: una raíz que no es un número sencillo se muestra como decimal.

Las potencias y las raíces se limitan a exponentes de −20 a 20 y a raíces de orden 1 a 12.
La forma exponencial usa radianes, como en las matemáticas, aunque los ángulos se muestren en grados.
No se admite la división por un número complejo igual a 0.

Ejemplo resuelto: (3 + 4i)(1 − 2i) y las raíces cúbicas de 8

El producto es (3 × 1 − 4 × (−2)) + (3 × (−2) + 4 × 1)i = 11 − 2i. El módulo de 3 + 4i es √25 = 5, y el cociente (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = −1 + 2i.

Las raíces cúbicas de 8, que tiene módulo 8 y ángulo 0°, tienen módulo 2 y ángulos 0°, 120° y −120°. Son 2, −1 + 1,7321i y −1 − 1,7321i.

Pregunta	Respuesta
(3 + 4i)(1 − 2i)	11 − 2i
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)	−1 + 2i
\|3 + 4i\|	5
Raíces cúbicas de 8, la segunda	−1 + 1,7321i

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre la forma polar y la exponencial?

Las dos dan el mismo número con el mismo módulo r y el mismo argumento θ. La forma polar se escribe r∠θ, y la exponencial, r·e^(iθ), con θ siempre en radianes, como exige la matemática.

¿Por qué algunas raíces se muestran con un ángulo de −120° y no de 240°?

La página muestra todos los ángulos entre −180° y 180°. El ángulo 240° tiene la misma dirección que −120°, así que ambos dan la misma raíz.

¿Cómo escribo un número con fracción?

Escriba la fracción en la parte que necesite: 1/2 + 3/4i es un medio más tres cuartos de i. También funcionan los decimales, con la coma decimal.

¿Cuándo muestra el resultado una fracción como 1/3?

Solo cuando el valor exacto no tiene decimales finitos, como 1/3. La calculadora la conserva como fracción en lugar de redondearla. Un valor como 3/25 es exactamente 0,12, así que se muestra como ese decimal.

¿Se envían a un servidor los números que escribo?

No. El cálculo se hace en su navegador y no se envía nada de lo que escribe.

Fuentes

Cifras y texto revisados por última vez el martes, 10 de noviembre de 2026.

Resultado

Cómo se calcula