Cómo se usa
- Elija la Operación: a mod n, el inverso, una potencia o el teorema chino del resto.
- Escriba el Número a, el Exponente e y el Módulo n donde se piden, o una congruencia por línea en Congruencias (una por línea).
- Lea Resultado. Para el inverso, el recuadro Comprobación indica si existe.
- Siga Cómo se calcula; las tablas muestran las filas de Euclides o las cifras binarias.
Restos, inversos y potencias
El resto de a módulo n es el número r con 0 ≤ r < n y a = q·n + r; así, a mod n nunca es negativo: −17 mod 5 es 3, porque −17 = (−4)·5 + 3. Un inverso de a módulo n es un número x con a·x ≡ 1 (mod n). Existe exactamente cuando mcd(a; n) = 1, y el algoritmo de Euclides extendido lo encuentra. Una potencia a^e mod n se calcula por elevación al cuadrado y multiplicación, que usa un cuadrado por cada cifra binaria de e.
a mod n = a − n·⌊a ÷ n⌋
Si s·a + t·n = 1, entonces a⁻¹ ≡ s (mod n)- Muchas calculadoras devuelven −2 para −17 mod 5, el resto de la división truncada. Ese no es el resto módulo, que siempre va de 0 a n − 1.
- Una potencia con exponente negativo usa el inverso de a, así que solo existe si mcd(a; n) = 1.
- Las tablas de Euclides y binaria muestran cada número intermedio, así que el cálculo se puede comprobar a mano.
El teorema chino del resto y lo que no cubre
El teorema chino del resto busca un número x que deja el resto rᵢ al dividirlo entre mᵢ, para cada congruencia del sistema. Cuando los módulos son primos entre sí dos a dos, siempre hay exactamente una solución módulo su producto. Cuando no lo son, los restos deben coincidir módulo los mcd de los módulos, o el sistema no tiene solución.
- Los exponentes muy grandes, de más de 64 cifras binarias, se rechazan para que el cálculo siga siendo legible.
- No se cubren congruencias con una variable distinta de x, congruencias polinómicas ni raíces cuadradas modulares.
- La calculadora trabaja solo con números enteros; un decimal se rechaza.
Ejemplo resuelto: 4¹³ mod 497, y las demás operaciones
El exponente 13 es 1101 en binario. Empezando por 1 y elevando al cuadrado en cada cifra, con una multiplicación por 4 en cada 1, los resultados son 4, 64, 120 y después 445, así que 4¹³ mod 497 = 445. La misma operación se realiza en la calculadora con su tabla de cifras.
Los demás ejemplos: −17 mod 5 = 3; el inverso de 4 módulo 7 es 2, porque 4 × 2 = 8 ≡ 1; y x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) tiene la solución x ≡ 23 (mod 105).
| Pregunta | Respuesta |
|---|---|
| 4^13 mod 497 | 445 |
| −17 mod 5 | 3 |
| Inverso de 4 módulo 7 | 2 |
| x ≡ 2 (mod 3), 3 (mod 5), 2 (mod 7) | x ≡ 23 (mod 105) |
Preguntas frecuentes
¿Por qué −17 mod 5 es igual a 3 y no a −2?
El resto es el número que nunca es negativo, con 0 ≤ r < n. Como −17 = (−4) × 5 + 3, el resto es 3. Muchas calculadoras muestran −2, que es el resto de la división truncada y no el resto módulo.
¿Cuándo tiene un número inverso módulo n?
Cuando el máximo común divisor del número y n es 1. Por ejemplo, 4 tiene inverso módulo 7, que es 2, pero no tiene inverso módulo 6, porque mcd(4; 6) = 2.
¿Por qué la potencia usa cuadrados y no multiplicaciones repetidas?
Elevar al cuadrado y reducir en cada cifra binaria mantiene pequeños todos los números. Para 4¹³ el mayor valor intermedio es 484 × 4 = 1936, en lugar de un número de unas ocho cifras que daría un producto largo.
¿Qué pasa si los módulos de las congruencias comparten un factor?
El sistema puede tener solución igualmente. Los restos deben coincidir módulo el mcd de los dos módulos: x ≡ 2 (mod 4) y x ≡ 8 (mod 6) coinciden, y la solución es x ≡ 2 (mod 12).
¿Se envían a un servidor mis números?
No. El cálculo se hace en su navegador y no se envía nada de lo que escribe.
Fuentes
- Wikipedia (en inglés): Aritmética modular
- Wikipedia (en inglés): Exponenciación modular
- Wikipedia (en inglés): Algoritmo de Euclides extendido
- Wikipedia (en inglés): Teorema chino del resto
Cifras y texto revisados por última vez el martes, 10 de noviembre de 2026.