حاسبة الحساب المودولي

طريقة الاستخدام

1. اختر العملية: a mod n، أو المعكوس، أو القوة، أو مبرهنة البواقي الصينية.
2. أدخل العدد a والأس e والمقياس n حيث يُطلب، أو تطابقاً في كل سطر في التطابقات (واحدة في كل سطر).
3. اقرأ النتيجة. وللمعكوس، يبيّن مربع التحقق هل هو موجود.
4. اتبع طريقة الحساب، فتعرض الجداول صفوف إقليدس أو الأرقام الثنائية.

البواقي والمعكوس والقوى

باقي a على n هو العدد r حيث 0 ≤ r < n و a = q·n + r، لذلك لا يكون a mod n سالباً أبداً: −17 mod 5 هو 3، لأن −17 = (−4)·5 + 3. ومعكوس a بالنسبة إلى n هو عدد x يحقق a·x ≡ 1 (mod n). وهو موجود تماماً عندما يكون القاسم المشترك الأكبر لـ a وn يساوي 1، وخوارزمية إقليدس الموسّعة تجده. أما القوة a^e mod n فتُحسب بالتربيع والضرب، بتربيع واحد لكل رقم ثنائي في e.

a mod n = a − n·⌊a ÷ n⌋
إذا كان s·a + t·n = 1، فإن a⁻¹ ≡ s (mod n)

• كثير من الآلات الحاسبة تعطي −2 للعدد −17 mod 5، وهو باقي القسمة المقطوعة. وهذه ليست البقية، فالبقية دائماً من 0 إلى n − 1.
• القوة بأس سالب تستخدم معكوس a، لذلك لا تكون موجودة إلا عندما يكون القاسم المشترك الأكبر لـ a وn يساوي 1.
• جدول إقليدس والجدول الثنائي يعرضان كل عدد وسيط، فيمكن التحقق من الحساب يدوياً.

مبرهنة البواقي الصينية وما لا تغطيه الحاسبة

تجد مبرهنة البواقي الصينية عدداً واحداً x يترك الباقي rᵢ عند قسمته على mᵢ، لكل تطابق في النظام. فإذا كانت المقاييس أولية فيما بينها، يوجد حل واحد دائماً بالنسبة إلى حاصل ضربها. وإذا لم تكن كذلك، يجب أن تتفق البواقي بالنسبة إلى القواسم المشتركة الكبرى للمقاييس، وإلا فلا يوجد حل للنظام.

• الأسس الكبيرة التي فيها أكثر من 64 رقماً ثنائياً تُرفض، حتى تبقى الخطوات مقروءة.
• التطابقات بمتغير غير x، والتطابقات كثيرة الحدود، والجذور التربيعية المودولية غير مشمولة.
• الحاسبة تعمل بأعداد صحيحة فقط، والعدد العشري يُرفض.

الأسئلة الشائعة