Nasıl kullanılır?
- İşlem listesinden bir işlem seçin: a mod n, ters, üs ya da Çin kalan teoremi.
- a sayısı, Üs e ve Modül n kutularını istendiği yerde doldurun ya da Denklemler (her satırda bir tane) kutusuna her satıra bir denklem yazın.
- Sonuç değerini okuyun. Ters için Kontrol kutusu tersin var olup olmadığını söyler.
- Nasıl hesaplandı bölümünü izleyin; tablolar Öklid satırlarını ya da ikilik basamakları gösterir.
Kalanlar, tersler ve üsler
a'nın n modülüne göre kalanı, 0 ≤ r < n ve a = q·n + r olan r sayısıdır; bu yüzden a mod n hiçbir zaman negatif değildir: −17 mod 5 = 3'tür, çünkü −17 = (−4)·5 + 3. a'nın n modülüne göre tersi, a·x ≡ 1 (mod n) olan x sayısıdır. Ters, yalnızca ebob(a, n) = 1 olduğunda vardır ve genişletilmiş Öklid algoritması onu bulur. a^e mod n, e'nin her ikilik basamağı için bir kareleme yaparak, karele ve çarp yöntemiyle hesaplanır.
a mod n = a − n·⌊a ÷ n⌋
Eğer s·a + t·n = 1 ise a⁻¹ ≡ s (mod n)- Birçok hesap makinesi −17 mod 5 için −2 gösterir; bu, kesilmiş bölmenin kalanıdır. Modüler kalan bu değil; her zaman 0 ile n − 1 arasındadır.
- Negatif üslü bir kuvvet a'nın tersini kullanır; bu yüzden yalnızca ebob(a, n) = 1 iken vardır.
- Öklid tablosu ve ikilik tablo her ara sayıyı gösterir; böylece işlem elle kontrol edilebilir.
Çin kalan teoremi ve kapsam dışı kalanlar
Çin kalan teoremi, bir denklem sistemindeki her x ≡ rᵢ (mod mᵢ) için, mᵢ'ye bölündüğünde rᵢ kalanını veren tek bir x sayısını bulur. Modüller aralarında asal olduğunda çözüm, çarpımları modülünde her zaman tek vardır. Asal değillerse kalanlar, modüllerin ebobları modülünde uyuşmalıdır; aksi hâlde çözüm yoktur.
- 64'ten fazla ikilik basamağı olan çok büyük üsler, işlemin okunaklı kalması için reddedilir.
- x dışında bir bilinmeyen içeren denklemler, polinom denklemleri ve modüler karekökler kapsam dışıdır.
- Hesap makinesi yalnızca tam sayılarla çalışır; ondalık sayı reddedilir.
Örnek: 4¹³ mod 497 ve diğer işlemler
13 sayısının ikilik yazılışı 1101'dir. 1 ile başlayıp her basamakta karesini alarak ve 1 olan her basamakta 4 ile çarparak sonuçlar 4, 64, 120 ve sonra 445 olur; yani 4¹³ mod 497 = 445'tir. Aynı yöntem hesap makinesinde basamak tablosuyla çalışır.
Diğer örnekler: −17 mod 5 = 3; 4'ün 7 modülüne göre tersi 2'dir, çünkü 4 × 2 = 8 ≡ 1; x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) denkleminin çözümü x ≡ 23 (mod 105)'tir.
| Soru | Cevap |
|---|---|
| 4^13 mod 497 | 445 |
| −17 mod 5 | 3 |
| 7 modülüne göre 4'ün tersi | 2 |
| x ≡ 2 (mod 3), 3 (mod 5), 2 (mod 7) | x ≡ 23 (mod 105) |
Sık sorulan sorular
Neden −17 mod 5 değeri −2 değil de 3?
Kalan, hiçbir zaman negatif olmayan r'dir ve 0 ≤ r < n'dir. −17 = (−4) × 5 + 3 olduğundan kalan 3'tür. Birçok hesap makinesi −2 gösterir; bu, kesilmiş bölmenin kalanıdır, modüler kalan değildir.
Bir sayının n modülüne göre tersi ne zaman vardır?
Sayı ile n'nin en büyük ortak böleni 1 olduğunda. Örneğin 4'ün 7 modülüne göre tersi 2'dir; 6 modülüne göre tersi yoktur, çünkü ebob(4, 6) = 2'dir.
Üs neden tekrarlı çarpma yerine kareleme ile hesaplanır?
Her ikilik basamakta karesini alıp indirgemek sayıları küçük tutar. 4¹³ için en büyük ara değer 484 × 4 = 1936'dır; uzun bir çarpım ise 8 basamaklı bir sayı üretirdi.
Denklemlerin modülleri ortak bir çarpan paylaşırsa ne olur?
Sistemin yine de çözümü olabilir. Kalanlar iki modülün ebobu modülünde uyuşmalıdır: x ≡ 2 (mod 4) ve x ≡ 8 (mod 6) uyuşur ve çözüm x ≡ 2 (mod 12)'dir.
Girdiğim sayılar bir sunucuya gönderiliyor mu?
Hayır. Hesap tarayıcınızda yapılır; yazdığınız hiçbir şey bize gönderilmez.
Kaynaklar
- Vikipedi: Modüler aritmetik
- Wikipedia: Modular exponentiation
- Wikipedia: Extended Euclidean algorithm
- Wikipedia: Chinese remainder theorem
Rakamlar ve metin en son 10 Kasım 2026 Salı tarihinde kontrol edildi.