Cara memakai
- Pilih Operasi: a mod n, invers, pangkat, atau teorema sisa Tiongkok.
- Ketik Bilangan a, Pangkat e dan Modulus n di tempat yang diminta, atau satu kongruensi per baris di Kongruensi (satu per baris).
- Baca Hasil. Untuk invers, kotak Pemeriksaan menyatakan apakah inversnya ada.
- Ikuti Cara perhitungannya; tabelnya menunjukkan baris Euclid atau digit biner.
Sisa, invers dan pangkat
Sisa dari a modulo n adalah bilangan r dengan 0 ≤ r < n dan a = q·n + r, sehingga a mod n tidak pernah negatif: −17 mod 5 adalah 3, karena −17 = (−4)·5 + 3. Invers dari a modulo n adalah bilangan x dengan a·x ≡ 1 (mod n). Invers itu ada tepat ketika FPB(a, n) = 1, dan algoritma Euclid diperluas mencarinya. Pangkat a^e mod n dihitung dengan kuadrat dan kali, yang memakai satu kuadrat untuk setiap digit biner dari e.
a mod n = a − n·⌊a ÷ n⌋
Jika s·a + t·n = 1, maka a⁻¹ ≡ s (mod n)- Banyak kalkulator mengembalikan −2 untuk −17 mod 5, yaitu sisa dari pembagian terpotong. Itu bukan sisa modular, yang selalu dari 0 sampai n − 1.
- Pangkat negatif memakai invers dari a, sehingga hanya ada jika FPB(a, n) = 1.
- Tabel Euclid dan tabel biner menampilkan setiap bilangan antara, sehingga pengerjaannya dapat diperiksa dengan tangan.
Teorema sisa Tiongkok dan yang tidak dicakup kalkulator
Teorema sisa Tiongkok mencari satu bilangan x yang menyisakan sisa rᵢ ketika dibagi mᵢ, untuk setiap kongruensi dalam sistem. Jika modulusnya saling prima, selalu ada tepat satu penyelesaian modulo hasil kalinya. Jika tidak, sisanya harus sepakat modulo FPB dari modulus-modulusnya, atau sistemnya tidak memiliki penyelesaian.
- Pangkat yang sangat besar dengan lebih dari 64 digit biner ditolak, agar pengerjaannya tetap mudah dibaca.
- Kongruensi dengan variabel selain x, kongruensi polinomial, dan akar kuadrat modular tidak dicakup.
- Kalkulator hanya bekerja dengan bilangan bulat; desimal ditolak.
Contoh kerja: 4¹³ mod 497, dan operasi lainnya
Pangkat 13 adalah 1101 dalam biner. Mulai dari 1 dan dikuadratkan pada setiap digit, dengan perkalian dengan 4 pada setiap digit 1, hasilnya 4, 64, 120 lalu 445, sehingga 4¹³ mod 497 = 445. Metode yang sama dijalankan kalkulator dengan tabel digitnya.
Contoh lainnya: −17 mod 5 = 3; invers dari 4 modulo 7 adalah 2, karena 4 × 2 = 8 ≡ 1; dan x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) memiliki penyelesaian x ≡ 23 (mod 105).
| Pertanyaan | Jawaban |
|---|---|
| 4^13 mod 497 | 445 |
| −17 mod 5 | 3 |
| Invers dari 4 modulo 7 | 2 |
| x ≡ 2 (mod 3), 3 (mod 5), 2 (mod 7) | x ≡ 23 (mod 105) |
Pertanyaan yang sering diajukan
Mengapa −17 mod 5 sama dengan 3, bukan −2?
Sisanya adalah sisa yang tidak pernah negatif, dengan 0 ≤ r < n. Karena −17 = (−4) × 5 + 3, sisanya 3. Banyak kalkulator menampilkan −2, yaitu sisa dari pembagian terpotong, bukan sisa modular.
Kapan suatu bilangan memiliki invers modulo n?
Ketika faktor persekutuan terbesar dari bilangan itu dan n adalah 1. Misalnya 4 memiliki invers modulo 7, yaitu 2, tetapi 4 tidak memiliki invers modulo 6, karena FPB(4, 6) = 2.
Mengapa pangkat memakai kuadrat dan bukan perkalian berulang?
Mengkuadratkan dan mereduksi pada setiap digit biner menjaga setiap bilangan tetap kecil. Untuk 4¹³ nilai antara terbesarnya adalah 484 × 4 = 1936, bukan bilangan dengan sekitar 8 digit yang dihasilkan perkalian panjang.
Bagaimana jika modulus kongruensinya memiliki faktor bersama?
Sistemnya tetap bisa memiliki penyelesaian. Sisanya harus sepakat modulo FPB kedua modulus: x ≡ 2 (mod 4) dan x ≡ 8 (mod 6) sepakat, dan penyelesaiannya x ≡ 2 (mod 12).
Apakah bilangan saya dikirim ke server?
Tidak. Perhitungan berjalan di peramban Anda, dan tidak ada yang Anda ketik yang dikirim kepada kami.
Sumber
- Wikipedia (dalam bahasa Inggris): Modular arithmetic
- Wikipedia (dalam bahasa Inggris): Modular exponentiation
- Wikipedia (dalam bahasa Inggris): Extended Euclidean algorithm
- Wikipedia (dalam bahasa Inggris): Chinese remainder theorem
Angka dan teks terakhir diperiksa pada Selasa, 10 November 2026.