मॉड्यूलर अंकगणित कैलकुलेटर

इसका इस्तेमाल कैसे करें

1. संक्रिया चुनें: a mod n, व्युत्क्रम, घात, या चीनी शेषफल प्रमेय।
2. जहाँ पूछा जाए वहाँ संख्या a, घातांक e और मापांक n भरें, या सर्वांगसमताएँ (हर पंक्ति पर एक) में हर पंक्ति पर एक सर्वांगसमता लिखें।
3. परिणाम पढ़ें। व्युत्क्रम के लिए जाँच खाना बताता है कि वह है या नहीं।
4. हिसाब कैसे निकला देखें; तालिकाएँ यूक्लिड की पंक्तियाँ या बाइनरी अंक दिखाती हैं।

शेषफल, व्युत्क्रम और घात

a का मापांक n पर अवशेष वह संख्या r है जिसके लिए 0 ≤ r < n और a = q·n + r, इसलिए a mod n कभी ऋणात्मक नहीं होता: −17 mod 5 = 3, क्योंकि −17 = (−4)·5 + 3। a का मापांक n पर व्युत्क्रम वह संख्या x है जिसके लिए a·x ≡ 1 (mod n)। यह ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1, और विस्तारित यूक्लिड विधि उसे निकालती है। घात a^e mod n वर्ग-और-गुणा से निकलती है, जिसमें e के हर बाइनरी अंक के लिए एक वर्ग लिया जाता है।

a mod n = a − n·⌊a ÷ n⌋
यदि s·a + t·n = 1, तो a⁻¹ ≡ s (mod n)

• कई कैलकुलेटर −17 mod 5 के लिए −2 देते हैं, जो छाँटे गए भाग का शेषफल है। वह अवशेष नहीं है, जो हमेशा 0 से n − 1 तक होता है।
• ऋण घातांक वाली घात a के व्युत्क्रम का उपयोग करती है, इसलिए वह तभी मिलती है जब gcd(a, n) = 1 हो।
• यूक्लिड तालिका और बाइनरी तालिका हर मध्यवर्ती संख्या दिखाती हैं, ताकि हिसाब हाथ से जाँचा जा सके।

चीनी शेषफल प्रमेय और यह क्या नहीं देखता

चीनी शेषफल प्रमेय वह एक संख्या x ढूँढता है जो निकाय की हर सर्वांगसमता के लिए mᵢ से भाग देने पर शेषफल rᵢ छोड़ती है। जब मापांक जोड़ेवार सहअभाज्य हों, तो उनके गुणनफल पर हमेशा ठीक एक हल होता है। न होने पर शेषफल मापांकों के gcd पर मेल खाने चाहिए, नहीं तो निकाय का कोई हल नहीं होता।

• 64 बाइनरी अंकों से अधिक घातांक अस्वीकार होते हैं, ताकि हिसाब पढ़ने योग्य रहे।
• x से अलग चर वाली सर्वांगसमताएँ, बहुपद सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर वर्गमूल शामिल नहीं हैं।
• कैलकुलेटर केवल पूरी संख्याओं से काम करता है; दशमलव अस्वीकार होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल