Como usar
- Escolha a Operação: a mod n, a inversa, uma potência ou o teorema chinês do resto.
- Digite o Número a, o Expoente e e o Módulo n onde forem pedidos, ou uma congruência por linha em Congruências (uma por linha).
- Leia o Resultado. Para a inversa, a caixa Verificação diz se ela existe.
- Siga Como se calcula; as tabelas mostram as linhas do Euclides ou os algarismos binários.
Resíduos, inversas e potências
O resíduo de a módulo n é o número r com 0 ≤ r < n e a = q·n + r, então a mod n nunca é negativo: −17 mod 5 é 3, porque −17 = (−4)·5 + 3. Uma inversa de a módulo n é um número x com a·x ≡ 1 (mod n). Ela existe exatamente quando MDC(a; n) = 1, e o algoritmo de Euclides estendido a encontra. Uma potência a^e mod n é calculada por quadrados e multiplicações, que usam um quadrado por algarismo binário de e.
a mod n = a − n·⌊a ÷ n⌋
Se s·a + t·n = 1, então a⁻¹ ≡ s (mod n)- Muitas calculadoras dão −2 para −17 mod 5, o resto da divisão truncada. Esse não é o resíduo, que fica sempre de 0 a n − 1.
- Uma potência com expoente negativo usa a inversa de a, então só existe quando MDC(a; n) = 1.
- As tabelas do Euclides e dos algarismos binários mostram cada número intermediário, então o cálculo pode ser conferido à mão.
O teorema chinês do resto e o que a calculadora não cobre
O teorema chinês do resto encontra um número x que deixa o resto rᵢ ao ser dividido por mᵢ, para cada congruência de um sistema. Quando os módulos são primos entre si dois a dois, sempre há exatamente uma solução módulo o seu produto. Quando não são, os restos devem concordar módulo os MDCs dos módulos, ou o sistema não tem solução.
- Expoentes muito grandes, com mais de 64 algarismos binários, são recusados, para que o cálculo continue legível.
- Congruências com variável diferente de x, congruências polinomiais e raízes quadradas módulo n não são tratadas.
- A calculadora trabalha só com números inteiros; um decimal é recusado.
Exemplo resolvido: 4¹³ mod 497, e as outras operações
O expoente 13 é 1101 em binário. Começando com 1 e elevando ao quadrado a cada algarismo, com uma multiplicação por 4 a cada 1, os resultados são 4, 64, 120 e depois 445, então 4¹³ mod 497 = 445. O mesmo método roda na calculadora, com a sua tabela de algarismos.
Os outros exemplos: −17 mod 5 = 3; a inversa de 4 módulo 7 é 2, porque 4 × 2 = 8 ≡ 1; e x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) tem a solução x ≡ 23 (mod 105).
| Pergunta | Resposta |
|---|---|
| 4^13 mod 497 | 445 |
| −17 mod 5 | 3 |
| Inversa de 4 módulo 7 | 2 |
| x ≡ 2 (mod 3), 3 (mod 5), 2 (mod 7) | x ≡ 23 (mod 105) |
Perguntas frequentes
Por que −17 mod 5 é igual a 3, e não −2?
O resíduo é o resto que nunca é negativo, com 0 ≤ r < n. Como −17 = (−4) × 5 + 3, o resíduo é 3. Muitas calculadoras mostram −2, que é o resto da divisão truncada, e não o resíduo modular.
Quando um número tem inversa módulo n?
Quando o máximo divisor comum entre o número e n é 1. Por exemplo, 4 tem inversa módulo 7, que é 2, mas 4 não tem inversa módulo 6, porque MDC(4; 6) = 2.
Por que a potência usa quadrados, e não multiplicações repetidas?
Elevar ao quadrado e reduzir a cada algarismo binário mantém todos os números pequenos. Para 4¹³, o maior valor intermediário é 484 × 4 = 1.936, em vez de um número com cerca de 8 algarismos que um produto longo daria.
E se as congruências tiverem módulos com um fator em comum?
O sistema ainda pode ter solução. Os restos devem concordar módulo o MDC dos dois módulos: x ≡ 2 (mod 4) e x ≡ 8 (mod 6) concordam, e a solução é x ≡ 2 (mod 12).
Os números que eu digito são enviados a algum servidor?
Não. O cálculo roda no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.
Fontes
- Wikipédia (em inglês): Modular arithmetic
- Wikipédia (em inglês): Modular exponentiation
- Wikipédia (em inglês): Extended Euclidean algorithm
- Wikipédia (em inglês): Chinese remainder theorem
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.