Como usar
- Escolha o Tipo de progressão: aritmética ou geométrica.
- Escolha O que encontrar. Depois digite o Primeiro termo a₁ e a Diferença comum d (aritmética) ou razão comum r (geométrica), ou informe dois termos conhecidos.
- Digite o Número do termo ou quantidade de termos, n onde as caixas pedem.
- Leia a Resposta e a tabela Primeiros dez termos, e confira Como se calcula para cada passo.
Progressões aritméticas e geométricas
Uma progressão aritmética soma a mesma diferença d a cada termo, então aₙ = a₁ + (n − 1)d. Uma progressão geométrica multiplica pela mesma razão r a cada vez, então aₙ = a₁ rⁿ⁻¹. A soma dos n primeiros termos é Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 para uma progressão aritmética, e Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) para uma geométrica.
aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d e Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
geométrica: aₙ = a₁ rⁿ⁻¹ e Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)- Dois termos seguidos dão a diferença d = a₂ − a₁, ou a razão r = a₂ ÷ a₁ quando a₁ não é 0.
- Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 0 tem todos os termos iguais a 0, então sua razão não pode ser lida pelos termos.
- Uma razão negativa faz os termos alternarem o sinal, e as mesmas fórmulas valem.
Somas infinitas e o que a calculadora não cobre
Uma série geométrica tem soma finita só quando |r| < 1. Então os termos diminuem e a soma é S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Quando |r| é 1 ou mais, as somas parciais não se aproximam de um valor, e a página informa isso.
- Uma série aritmética nunca tem uma soma infinita que se aproxime de um valor, então esse caso é apresentado como sem soma finita.
- Números de termo acima de 10.000 são recusados, para que o cálculo fique curto.
- Uma razão encontrada a partir de dois termos que não é uma raiz exata aparece como aproximação decimal.
Exemplo resolvido: 2; 5; 8; … e o décimo termo
O primeiro termo é a₁ = 2 e a diferença é d = 3, então a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29. A soma dos dez primeiros termos é S₁₀ = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
A progressão geométrica 2; 6; 18; … tem a₁₀ = 2 × 3⁹ = 39.366 e S₁₀ = 59.048. A série 2 + 1 + 1/2 + … tem razão r = 1/2, então sua soma infinita é S∞ = 2 ÷ (1 − 1/2) = 4.
| Pergunta | Resposta |
|---|---|
| Décimo termo, aritmética (2; 5; 8; …) | 29 |
| Soma de 10 termos, aritmética | 155 |
| Décimo termo, geométrica (2; 6; 18; …) | 39.366 |
| Soma de 10 termos, geométrica | 59.048 |
| Soma infinita de 2 + 1 + 1/2 + … | 4 |
Perguntas frequentes
Como encontro a diferença comum de uma progressão aritmética?
Subtraia um termo do seguinte: d = a₂ − a₁. A partir de dois termos com posições conhecidas, use a opção d ou r a partir de dois termos conhecidos, que calcula d = (t₂ − t₁) ÷ (k₂ − k₁).
Quando uma série geométrica infinita tem soma?
Só quando o valor absoluto da razão é menor que 1. Então os termos ficam menores e a soma é S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Com a₁ = 2 e r = 0,5, a soma é 4.
Por que a página mostra 2 × 3⁹ e não só o decimal?
A fórmula aparece com os seus números para que você possa acompanhá-la. A resposta exata é escrita por extenso sempre que é curta, e uma resposta muito longa aparece em notação científica, com a quantidade de algarismos.
A razão comum pode ser negativa?
Pode. Uma razão como −2 faz os termos alternarem o sinal, e a soma segue a mesma fórmula. Um número par de passos entre dois termos conhecidos também combina com uma razão negativa do mesmo tamanho.
O cálculo é feito em algum servidor?
Não. A progressão é calculada no seu navegador, e nada do que você digita é enviado para nós.
Fontes
Números e texto verificados pela última vez em terça-feira, 10 de novembro de 2026.