So verwenden Sie es
- Wählen Sie die Art der Folge: arithmetisch oder geometrisch.
- Wählen Sie Was berechnet werden soll. Tragen Sie dann das Erstes Glied a₁ und die Gleichbleibende Differenz d (arithmetisch) oder gleichbleibender Quotient r (geometrisch) ein oder geben Sie zwei bekannte Glieder an.
- Tragen Sie die Gliednummer oder Anzahl der Glieder, n dort ein, wo die Felder danach fragen.
- Lesen Sie das Ergebnis und die Tabelle Die ersten zehn Glieder ab. Gehen Sie unter So wird es berechnet jeden Schritt durch.
Arithmetische und geometrische Folgen
Eine arithmetische Folge addiert zu jedem Glied dieselbe Differenz d, also aₙ = a₁ + (n − 1)d. Eine geometrische Folge multipliziert jedes Mal mit demselben Quotienten r, also aₙ = a₁ rⁿ⁻¹. Die Summe der ersten n Glieder ist Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 bei einer arithmetischen Folge und Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) bei einer geometrischen.
arithmetisch: aₙ = a₁ + (n − 1)d und Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
geometrisch: aₙ = a₁ rⁿ⁻¹ und Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)- Zwei aufeinanderfolgende Glieder ergeben die Differenz d = a₂ − a₁ oder den Quotienten r = a₂ ÷ a₁, wenn a₁ nicht 0 ist.
- Eine geometrische Folge, deren erstes Glied 0 ist, ist überall 0. Ihr Quotient lässt sich aus den Gliedern daher nicht ablesen.
- Ein negativer Quotient lässt die Glieder im Vorzeichen abwechseln, und dieselben Formeln gelten.
Unendliche Summen und was nicht abgedeckt ist
Eine geometrische Reihe hat nur dann eine endliche Summe, wenn |r| < 1 ist. Dann werden die Glieder kleiner, und die Summe ist S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Ist |r| gleich 1 oder größer, strebt die Teilsumme nicht gegen einen Wert, und die Seite sagt das.
- Eine arithmetische Reihe hat nie eine endliche unendliche Summe. Dieser Fall wird daher als keine endliche Summe gemeldet.
- Gliednummern über 10000 werden abgelehnt, damit der Rechenweg kurz bleibt.
- Ein Quotient aus zwei Gliedern, der keine genaue Wurzel ist, wird als Dezimalnäherung angegeben.
Rechenbeispiel: 2, 5, 8, … und das zehnte Glied
Das erste Glied ist a₁ = 2 und die Differenz d = 3, also ist a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29. Die Summe der ersten zehn Glieder ist S₁₀ = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
Die geometrische Folge 2, 6, 18, … hat a₁₀ = 2 × 3⁹ = 39.366 und S₁₀ = 59.048. Die Reihe 2 + 1 + 1/2 + … hat den Quotienten r = 1/2, daher ist ihre unendliche Summe S∞ = 2 ÷ (1 − 1/2) = 4.
| Frage | Ergebnis |
|---|---|
| 10. Glied, arithmetisch (2, 5, 8, …) | 29 |
| Summe von 10 Gliedern, arithmetisch | 155 |
| 10. Glied, geometrisch (2, 6, 18, …) | 39.366 |
| Summe von 10 Gliedern, geometrisch | 59.048 |
| Unendliche Summe von 2 + 1 + 1/2 + … | 4 |
Häufig gestellte Fragen
Wie finde ich die Differenz einer arithmetischen Folge?
Ziehen Sie ein Glied vom nächsten ab: d = a₂ − a₁. Aus zwei Gliedern mit bekannten Positionen nutzen Sie die Aufgabe d oder r aus zwei bekannten Gliedern: d = (t₂ − t₁) ÷ (k₂ − k₁).
Wann hat eine unendliche geometrische Reihe eine Summe?
Nur, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist. Dann werden die Glieder kleiner, und die Summe ist S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Mit a₁ = 2 und r = 0,5 ist die Summe 4.
Warum zeigt die Seite 2 × 3⁹ und nicht nur die Dezimalzahl?
Die Formel wird mit ihren Zahlen gezeigt, damit Sie ihr folgen können. Die genaue Antwort steht vollständig da, wenn sie kurz ist. Eine sehr lange Antwort erscheint in wissenschaftlicher Schreibweise mit ihrer Stellenzahl.
Kann der Quotient negativ sein?
Ja. Ein Quotient wie −2 lässt die Glieder im Vorzeichen abwechseln, und die Summe folgt trotzdem derselben Formel. Eine gerade Anzahl von Schritten zwischen zwei bekannten Gliedern passt ebenfalls zu einem negativen Quotienten gleicher Größe.
Wird die Berechnung auf einem Server ausgeführt?
Nein. Die Folge wird in Ihrem Browser berechnet, und nichts, was Sie eingeben, wird an uns übermittelt.
Quellen
- Wikipedia (englisch): Arithmetic progression, arithmetische Folge
- Wikipedia (englisch): Geometric series, geometrische Reihe
Zahlen und Text zuletzt geprüft: Dienstag, 10. November 2026.