Как пользоваться
- Выберите Вид прогрессии: арифметическая или геометрическая.
- Выберите Что найти. Затем введите Первый член a₁ и Разность d (арифметическая) или знаменатель q (геометрическая) либо укажите два известных члена.
- Введите Номер члена или число членов n там, где поле об этом просит.
- Прочитайте Ответ и таблицу Первые десять членов, а для каждого шага откройте Как это вычисляется.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая прогрессия прибавляет к каждому члену одну и ту же разность d, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d. Геометрическая умножается каждый раз на один и тот же знаменатель q, поэтому aₙ = a₁ qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов равна Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 для арифметической прогрессии и Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q) для геометрической.
арифметическая: aₙ = a₁ + (n − 1)d и Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
геометрическая: aₙ = a₁ qⁿ⁻¹ и Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q)- Два соседних члена дают разность d = a₂ − a₁ или знаменатель q = a₂ ÷ a₁, если a₁ не равно 0.
- Геометрическая прогрессия с первым членом 0 везде равна 0, поэтому её знаменатель по членам не найти.
- Отрицательный знаменатель делает члены знакопеременными, и те же формулы остаются верными.
Бесконечные суммы и чего калькулятор не охватывает
Геометрический ряд имеет конечную сумму только при |q| < 1. Тогда члены убывают и сумма равна S∞ = a₁ ÷ (1 − q). Когда |q| равно 1 или больше, частичные суммы не стремятся к пределу, и страница говорит об этом.
- У арифметического ряда конечной бесконечной суммы никогда нет, поэтому этот случай показывается как отсутствие конечной суммы.
- Номера членов больше 10 000 не принимаются, чтобы расчёт оставался коротким.
- Знаменатель, найденный по двум членам и не являющийся точным корнем, дан десятичным приближением.
Пример: 2, 5, 8, … и десятый член
Первый член a₁ = 2, разность d = 3, поэтому a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29. Сумма первых десяти членов S₁₀ = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
Геометрическая прогрессия 2, 6, 18, … имеет a₁₀ = 2 × 3⁹ = 39 366 и S₁₀ = 59 048. Ряд 2 + 1 + 1/2 + … имеет знаменатель q = 1/2, поэтому его бесконечная сумма S∞ = 2 ÷ (1 − 1/2) = 4.
| Вопрос | Ответ |
|---|---|
| 10-й член, арифметическая (2, 5, 8, …) | 29 |
| Сумма 10 членов, арифметическая | 155 |
| 10-й член, геометрическая (2, 6, 18, …) | 39 366 |
| Сумма 10 членов, геометрическая | 59 048 |
| Бесконечная сумма 2 + 1 + 1/2 + … | 4 |
Частые вопросы
Как найти разность арифметической прогрессии?
Вычтите из следующего члена предыдущий: d = a₂ − a₁. По двум членам с известными номерами используйте вид «d или q по двум известным членам»: d = (t₂ − t₁) ÷ (k₂ − k₁).
Когда у бесконечной геометрической суммы есть значение?
Только когда модуль знаменателя меньше 1. Тогда члены становятся меньше, а сумма равна S∞ = a₁ ÷ (1 − q). При a₁ = 2 и q = 0,5 сумма равна 4.
Почему страница показывает 2 × 3⁹, а не только десятичное число?
Формула показана с числами, чтобы её можно было проследить. Точный ответ пишется полностью, когда он короткий, а очень длинный ответ показывается в научной записи с указанием числа цифр.
Может ли знаменатель быть отрицательным?
Да. Знаменатель, например −2, делает члены знакопеременными, а сумма считается по той же формуле. Чётное число шагов между двумя известными членами также подходит к отрицательному знаменателю того же модуля.
Считается ли расчёт на сервере?
Нет. Прогрессия вычисляется в вашем браузере, и ничего из введённого не отправляется нам.
Источники
Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..