Как пользоваться
- Введите Число испытаний n, например 10.
- Введите Вероятность успеха p в процентах, например 50 %.
- Введите Число успехов k, для которого нужна вероятность.
- Прочитайте P(X = k): ровно k успехов, P(X ≤ k): не более k успехов и P(X ≥ k): не менее k успехов, затем Таблица распределения и Как получен результат.
Формула биномиального распределения
Биномиальный опыт состоит из n независимых испытаний, и в каждом успех имеет одну и ту же вероятность p. Число успехов X тогда распределено по биномиальному закону. Вероятность ровно k успехов равна числу способов выбрать, какие k испытаний будут успешными, C(n, k), умноженному на вероятность одного такого исхода, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Математическое ожидание числа успехов равно np, а дисперсия равна np(1 − p). Стандартное отклонение — это корень из дисперсии, поэтому большинство результатов лежит в пределах примерно двух стандартных отклонений от среднего.
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, где C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
математическое ожидание = np
дисперсия = np(1 − p)Ровно, не более и не менее
P(X ≤ k) складывает вероятности 0, 1, ..., k успехов, а P(X ≥ k) — вероятности k, k + 1, ..., n. Суммы пересекаются при k, поэтому P(X ≥ k) также равна единице минус P(X ≤ k − 1). В таблице для каждого числа успехов указаны его вероятность и накопленная вероятность до этого числа.
Допущения и что калькулятор не охватывает
- Испытания должны быть независимыми и иметь одну и ту же вероятность успеха. Выбор без возвращения из небольшой группы требует гипергеометрического распределения.
- Испытания с более чем двумя исходами требуют полиномиального распределения; здесь общее число испытаний ограничено 1000.
- Для распределения Пуассона редких событий при большом числе испытаний используйте калькулятор вероятности Пуассона.
Пример: 10 испытаний при p = 50 % и k = 3
C(10, 3) = 120, поэтому P(X = 3) = 120 × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 ÷ 1024 = 0,117188. Вероятность не более 3 успехов равна 0,171875, а не менее 3 успехов — 0,945313. Математическое ожидание равно 5, дисперсия — 2,5.
| Успехов j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,000977 | 0,000977 |
| 1 | 0,009766 | 0,010742 |
| 2 | 0,043945 | 0,054688 |
| 3 | 0,117188 | 0,171875 |
Частые вопросы
В чём разница между P(X = k) и P(X ≤ k)?
P(X = k) — вероятность ровно k успехов. P(X ≤ k) складывает вероятности всех чисел от 0 до k, поэтому она всегда не меньше P(X = k).
Когда можно использовать биномиальное распределение?
Когда вы считаете успехи при фиксированном числе испытаний, которые независимы и имеют одну и ту же вероятность успеха, например броски монеты, бракованные изделия в партии или правильные ответы, угаданные наугад.
Как найти вероятность хотя бы одного успеха?
Введите k = 1 и прочитайте P(X ≥ 1). Она равна 1 минус вероятность отсутствия успехов, то есть 1 − (1 − p)ⁿ.
Почему дисперсия равна np(1 − p)?
Каждое испытание вносит дисперсию p(1 − p), а независимые испытания складываются, поэтому при n испытаниях получается n таких величин.
Что происходит при вероятности 0 % или 100 %?
Исход становится определённым: при 0 % число успехов всегда равно 0, а при 100 % всегда равно n. Калькулятор показывает вероятность 1 для этого числа и 0 для остальных.
Калькулятор отправляет введённые числа куда-нибудь?
Нет. Расчёт выполняется в вашем браузере, и ничего из введённого не передаётся на сервер.
Источники
Цифры и текст в последний раз проверены вторник, 10 ноября 2026 г..