Cómo se usa
- Escriba el Número de ensayos n, por ejemplo 10.
- Escriba la Probabilidad de éxito p en porcentaje, por ejemplo 50 %.
- Escriba el Número de éxitos k cuya probabilidad quiere calcular.
- Lea P(X = k): exactamente k éxitos, P(X ≤ k): como máximo k éxitos y P(X ≥ k): como mínimo k éxitos. Después revise la Tabla de la distribución y Cómo se calcula.
La fórmula binomial
Un experimento binomial tiene n ensayos independientes, y cada ensayo tiene la misma probabilidad p de éxito. El número de éxitos X sigue entonces la distribución binomial. La probabilidad de exactamente k éxitos es el número de formas de elegir qué k ensayos son éxitos, C(n; k), por la probabilidad de una de esas combinaciones, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
La media del número de éxitos es np y su varianza es np(1 − p). La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, así que la mayoría de los resultados están a unas dos desviaciones típicas de la media.
P(X = k) = C(n; k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con C(n; k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
media = np
varianza = np(1 − p)Exactamente, como máximo y como mínimo
P(X ≤ k) suma las probabilidades de 0, 1, ..., k éxitos, y P(X ≥ k) suma las de k, k + 1, ..., n. Los dos lados se solapan en k, así que P(X ≥ k) es también uno menos P(X ≤ k − 1). La tabla muestra cada número de éxitos con su probabilidad y la probabilidad acumulada hasta él.
Supuestos y lo que la calculadora no cubre
- Los ensayos deben ser independientes y tener la misma probabilidad de éxito. Si se extrae sin reposición de un grupo pequeño, hace falta la distribución hipergeométrica.
- Los ensayos con más de dos resultados necesitan la distribución multinomial; aquí el número total de ensayos está limitado a 1000.
- Para sucesos raros con muchos ensayos, use la calculadora de probabilidad de Poisson.
Ejemplo resuelto: 10 ensayos con p = 50 % y k = 3
C(10; 3) = 120, así que P(X = 3) = 120 × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 ÷ 1024 = 0,117188. La probabilidad de como máximo 3 éxitos es 0,171875, y la de como mínimo 3 éxitos, 0,945313. La media es 5 y la varianza, 2,5.
| Éxitos j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,000977 | 0,000977 |
| 1 | 0,009766 | 0,010742 |
| 2 | 0,043945 | 0,054688 |
| 3 | 0,117188 | 0,171875 |
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre P(X = k) y P(X ≤ k)?
P(X = k) es la probabilidad de exactamente k éxitos. P(X ≤ k) suma las probabilidades de todos los números de éxitos desde 0 hasta k, así que siempre es igual o mayor.
¿Cuándo puedo usar la distribución binomial?
Cuando cuenta éxitos en un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito, como lanzamientos de una moneda, piezas defectuosas en un lote o respuestas correctas adivinadas al azar.
¿Cómo calculo la probabilidad de al menos un éxito?
Introduzca k = 1 y lea P(X ≥ 1). Es igual a 1 menos la probabilidad de ningún éxito, es decir, 1 − (1 − p)ⁿ.
¿Por qué la varianza es np(1 − p)?
Cada ensayo aporta una varianza de p(1 − p), y los ensayos independientes se suman, lo que da n veces ese valor.
¿Qué pasa cuando la probabilidad es 0 % o 100 %?
El resultado es seguro: con 0 % el número de éxitos es siempre 0, y con 100 % es siempre n. La calculadora muestra una probabilidad de 1 para ese número y de 0 para los demás.
¿La calculadora envía mis datos a algún sitio?
No. El cálculo se hace en su navegador y no se envía nada de lo que escribe a nuestros servidores.
Fuentes
Cifras y texto revisados por última vez el martes, 10 de noviembre de 2026.