Mode d'emploi
- Saisissez le Nombre d'épreuves n, par exemple 10.
- Saisissez la Probabilité de succès p en pourcentage, par exemple 50 %.
- Saisissez le Nombre de succès k dont vous voulez la probabilité.
- Lisez P(X = k) : exactement k succès, P(X ≤ k) : au plus k succès et P(X ≥ k) : au moins k succès, puis le Tableau de la loi et le Détail du calcul.
La formule binomiale
Une expérience binomiale comporte n épreuves indépendantes, et chaque épreuve réussit avec la même probabilité p. Le nombre de succès X suit alors la loi binomiale. La probabilité d'exactement k succès est le nombre de façons de choisir les k épreuves qui réussissent, C(n ; k), multiplié par la probabilité d'un tel schéma, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
L'espérance du nombre de succès vaut np et sa variance np(1 − p). L'écart type est la racine carrée de la variance : la plupart des résultats se situent à deux écarts types de l'espérance environ.
P(X = k) = C(n ; k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, avec C(n ; k) = n! ÷ (k! (n − k)!)
espérance = np
variance = np(1 − p)Exactement, au plus et au moins
P(X ≤ k) additionne les probabilités de 0, 1, …, k succès, et P(X ≥ k) celles de k, k + 1, …, n. Les deux sommes se recouvrent en k, donc P(X ≥ k) vaut aussi 1 moins P(X ≤ k − 1). Le tableau donne chaque nombre de succès avec sa probabilité et la probabilité cumulée jusqu'à ce nombre.
Hypothèses et ce que le calculateur ne couvre pas
- Les épreuves doivent être indépendantes et avoir la même probabilité de succès. Un tirage sans remise dans un petit groupe demande plutôt la loi hypergéométrique.
- Les épreuves à plus de deux issues demandent la loi multinomiale ; ici, le nombre d'épreuves est limité à 1 000.
- Pour la loi de Poisson des événements rares sur un grand nombre d'épreuves, utilisez le calculateur de probabilité de Poisson.
Exemple détaillé : 10 épreuves avec p = 50 % et k = 3
C(10 ; 3) = 120, donc P(X = 3) = 120 × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 ÷ 1 024 = 0,117188. La probabilité d'au plus 3 succès vaut 0,171875, et celle d'au moins 3 succès 0,945313. L'espérance est 5 et la variance 2,5.
| Succès j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,000977 | 0,000977 |
| 1 | 0,009766 | 0,010742 |
| 2 | 0,043945 | 0,054688 |
| 3 | 0,117188 | 0,171875 |
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre P(X = k) et P(X ≤ k) ?
P(X = k) est la probabilité d'obtenir exactement k succès. P(X ≤ k) additionne les probabilités de tous les nombres de succès de 0 à k, elle est donc toujours au moins aussi grande.
Quand puis-je utiliser la loi binomiale ?
Utilisez-la lorsque vous comptez des succès sur un nombre fixe d'épreuves indépendantes ayant la même probabilité de succès, comme des lancers de pièce, des pièces défectueuses dans un lot ou des bonnes réponses données au hasard.
Comment calculer la probabilité d'au moins un succès ?
Saisissez k = 1 et lisez P(X ≥ 1). Elle vaut 1 moins la probabilité de n'avoir aucun succès, soit 1 − (1 − p)ⁿ.
Pourquoi la variance vaut-elle np(1 − p) ?
Chaque épreuve apporte une variance de p(1 − p), et les épreuves indépendantes s'additionnent, ce qui donne n fois cette valeur.
Que se passe-t-il lorsque la probabilité vaut 0 % ou 100 % ?
Le résultat est certain : avec 0 %, le nombre de succès vaut toujours 0, et avec 100 %, il vaut toujours n. Le calculateur affiche alors une probabilité de 1 pour ce nombre et de 0 pour les autres.
Le calculateur envoie-t-il mes nombres quelque part ?
Non. Le calcul se fait dans votre navigateur, et rien de ce que vous saisissez n'est envoyé à nos serveurs.
Sources
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.