Mode d'emploi
- Saisissez le Taux moyen λ : le nombre moyen d'événements dans l'intervalle, par exemple 3 arrivées par minute.
- Saisissez le Nombre d'événements k dont vous voulez la probabilité.
- Lisez P(X = k) : exactement k événements, P(X ≤ k) et P(X ≥ k).
- Vérifiez le Tableau de la loi et le Détail du calcul.
La formule de Poisson
La loi de Poisson compte des événements qui se produisent indépendamment, à un taux moyen constant λ, dans un intervalle fixe de temps, de longueur ou de surface. La probabilité d'exactement k événements est e^(−λ) × λᵏ ÷ k!. Sa moyenne et sa variance valent toutes deux λ : un comptage dont la dispersion est nettement supérieure ou inférieure à la moyenne ne convient donc pas à ce modèle.
La probabilité qu'aucun événement ne se produise dans l'intervalle est e^(−λ). Chaque événement supplémentaire multiplie la probabilité par λ et la divise par le nombre atteint, ce qui explique que les probabilités montent jusqu'à un maximum voisin de λ, puis décroissent.
P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ ÷ k!
P(X ≤ k) = Σ P(X = j) pour j de 0 à k
moyenne = variance = λQuand la loi de Poisson convient
Elle convient aux nombres d'événements rares et indépendants, comme les clients qui arrivent en une minute, les appels à un service d'assistance en une heure, ou les fautes de frappe sur une page, lorsque le taux moyen ne change pas pendant l'intervalle. C'est aussi la limite de la loi binomiale avec beaucoup d'épreuves et une faible probabilité de succès, où λ = np. Le calculateur de probabilité binomiale travaille avec un nombre fixe d'épreuves.
Ce que le calculateur ne couvre pas
- Les comptages dont la variance diffère de la moyenne, comme les événements groupés. Ils demandent la loi binomiale négative.
- Les taux qui changent pendant l'intervalle. Découpez alors l'intervalle en parties, chacune avec son taux, puis additionnez les résultats.
- Les taux moyens supérieurs à 1 000, que le calculateur n'accepte pas, et les nombres supérieurs à 1 000.
Exemple détaillé : 3 arrivées par minute
Un magasin reçoit en moyenne 3 clients par minute, donc λ = 3. La probabilité d'exactement 2 arrivées en une minute est e^(−3) × 3² ÷ 2! = 0,224042. La probabilité d'au plus 2 arrivées est 0,423190, et celle d'au moins 2 arrivées 0,800852.
La moyenne vaut 3 et la variance vaut également 3.
| Événements j | P(X = j) | P(X ≤ j) |
|---|---|---|
| 0 | 0,049787 | 0,049787 |
| 1 | 0,149361 | 0,199148 |
| 2 | 0,224042 | 0,423190 |
| 3 | 0,224042 | 0,647232 |
| 4 | 0,168031 | 0,815263 |
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la loi de Poisson et la loi binomiale ?
La loi binomiale compte les succès dans un nombre fixe d'épreuves, chacune ayant une probabilité de succès. La loi de Poisson compte des événements sur un intervalle continu, à un taux moyen, sans nombre fixe d'épreuves. Avec beaucoup d'épreuves et une faible probabilité, les deux donnent des résultats presque identiques.
Pourquoi la moyenne et la variance ont-elles la même valeur ?
C'est une propriété de la loi de Poisson. Si les comptages varient beaucoup plus que leur moyenne, la loi de Poisson ne convient pas, et il faut un modèle binomial négatif.
Comment obtenir le taux λ pour un autre intervalle ?
Multipliez-le. Si le taux est de 3 par minute, il vaut 15 pour cinq minutes et 180 par heure. Utilisez la même unité que pour l'intervalle étudié.
Quelle est la probabilité qu'aucun événement ne se produise ?
C'est P(X = 0) = e^(−λ). Avec λ = 3, elle vaut environ 0,0498, soit environ 5 % des minutes sans arrivée.
Que signifie P(X ≥ k) ?
C'est la probabilité d'au moins k événements. Elle égale 1 moins la probabilité d'au plus k − 1 événements, ce qui explique la forme donnée dans les étapes.
Le calculateur envoie-t-il mes nombres quelque part ?
Non. Le calcul se fait dans votre navigateur : ce que vous saisissez n'est pas envoyé à nos serveurs.
Sources
- Wikipédia (en anglais) : Poisson distribution
- Wikipédia (en anglais) : Poisson distribution, relation avec la loi binomiale et la fonction gamma incomplète
Chiffres et texte vérifiés pour la dernière fois le mardi 10 novembre 2026.